MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvcl 27404
Description: The norm of a normed complex vector space is a real number. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvf.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvf.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvcl ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nvcl
StepHypRef Expression
1 nvf.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nvf.6 . . 3 𝑁 = (normCV𝑈)
31, 2nvf 27403 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑁:𝑋⟶ℝ)
43ffvelrnda 6325 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5857  cr 9895  NrmCVeccnv 27327  BaseSetcba 27329  normCVcnmcv 27333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-vc 27302  df-nv 27335  df-va 27338  df-ba 27339  df-sm 27340  df-0v 27341  df-nmcv 27343
This theorem is referenced by:  nvcli  27405  nvm1  27408  nvpi  27410  nvz0  27411  nvmtri  27414  nvabs  27415  nvge0  27416  nvgt0  27417  nv1  27418  nmcvcn  27438  smcnlem  27440  ipval2lem2  27447  4ipval2  27451  ipidsq  27453  ipnm  27454  ipz  27462  nmosetre  27507  nmooge0  27510  nmoub3i  27516  nmounbi  27519  nmlno0lem  27536  nmblolbii  27542  blocnilem  27547  ipblnfi  27599  ubthlem1  27614  ubthlem2  27615  ubthlem3  27616  minvecolem1  27618  minvecolem2  27619  minvecolem4  27624  minvecolem5  27625  minvecolem6  27626  hlipgt0  27658  htthlem  27662
  Copyright terms: Public domain W3C validator