MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvinv 26664
Description: Minus 1 times a vector is the underlying group's inverse element. Equation 2 of [Kreyszig] p. 51. (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvinv.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvinv.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
nvinv.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvinv.5 𝑀 = (inv‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nvinv ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) = (𝑀𝐴))

Proof of Theorem nvinv
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . 3 (1st𝑈) = (1st𝑈)
21nvvc 26638 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (1st𝑈) ∈ CVecOLD)
3 nvinv.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
43vafval 26626 . . 3 𝐺 = (1st ‘(1st𝑈))
5 nvinv.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
65smfval 26628 . . 3 𝑆 = (2nd ‘(1st𝑈))
7 nvinv.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
87, 3bafval 26627 . . 3 𝑋 = ran 𝐺
9 nvinv.5 . . 3 𝑀 = (inv‘𝐺)
104, 6, 8, 9vcm 26592 . 2 (((1st𝑈) ∈ CVecOLD𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) = (𝑀𝐴))
112, 10sylan 486 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) = (𝑀𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  (class class class)co 6527  1st c1st 7034  1c1 9793  -cneg 10118  invcgn 26495  CVecOLDcvc 26566  NrmCVeccnv 26607   +𝑣 cpv 26608  BaseSetcba 26609   ·𝑠OLD cns 26610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935  df-sub 10119  df-neg 10120  df-grpo 26497  df-gid 26498  df-ginv 26499  df-ablo 26552  df-vc 26567  df-nv 26615  df-va 26618  df-ba 26619  df-sm 26620  df-0v 26621  df-nmcv 26623
This theorem is referenced by:  nvinvfval  26665  nvmval  26667  nvmfval  26669  nvnegneg  26676  nvrinv  26678  nvlinv  26679
  Copyright terms: Public domain W3C validator