MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvlinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvlinv 27377
Description: Minus a vector plus itself. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvrinv.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvrinv.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
nvrinv.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvrinv.6 𝑍 = (0vec𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvlinv ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴) = 𝑍)

Proof of Theorem nvlinv
StepHypRef Expression
1 nvrinv.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
21nvgrp 27342 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
3 nvrinv.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
43, 1bafval 27329 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
5 eqid 2621 . . . 4 (GId‘𝐺) = (GId‘𝐺)
6 eqid 2621 . . . 4 (inv‘𝐺) = (inv‘𝐺)
74, 5, 6grpolinv 27250 . . 3 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋) → (((inv‘𝐺)‘𝐴)𝐺𝐴) = (GId‘𝐺))
82, 7sylan 488 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((inv‘𝐺)‘𝐴)𝐺𝐴) = (GId‘𝐺))
9 nvrinv.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
103, 1, 9, 6nvinv 27364 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) = ((inv‘𝐺)‘𝐴))
1110oveq1d 6625 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴) = (((inv‘𝐺)‘𝐴)𝐺𝐴))
12 nvrinv.6 . . . 4 𝑍 = (0vec𝑈)
131, 120vfval 27331 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 = (GId‘𝐺))
1413adantr 481 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 𝑍 = (GId‘𝐺))
158, 11, 143eqtr4d 2665 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((-1𝑆𝐴)𝐺𝐴) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5852  (class class class)co 6610  1c1 9889  -cneg 10219  GrpOpcgr 27213  GIdcgi 27214  invcgn 27215  NrmCVeccnv 27309   +𝑣 cpv 27310  BaseSetcba 27311   ·𝑠OLD cns 27312  0veccn0v 27313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-ltxr 10031  df-sub 10220  df-neg 10221  df-grpo 27217  df-gid 27218  df-ginv 27219  df-ablo 27269  df-vc 27284  df-nv 27317  df-va 27320  df-ba 27321  df-sm 27322  df-0v 27323  df-nmcv 27325
This theorem is referenced by:  nvabs  27397  imsmetlem  27415  lno0  27481
  Copyright terms: Public domain W3C validator