MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvmcl 27485
Description: Closure law for the vector subtraction operation of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmf.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmf.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvmcl ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem nvmcl
StepHypRef Expression
1 nvmf.1 . . 3 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nvmf.3 . . 3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
31, 2nvmf 27484 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
4 fovrn 6801 . 2 ((𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋)
53, 4syl3an1 1358 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989   × cxp 5110  wf 5882  cfv 5886  (class class class)co 6647  NrmCVeccnv 27423  BaseSetcba 27425  𝑣 cnsb 27428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-ltxr 10076  df-sub 10265  df-neg 10266  df-grpo 27331  df-gid 27332  df-ginv 27333  df-gdiv 27334  df-ablo 27383  df-vc 27398  df-nv 27431  df-va 27434  df-ba 27435  df-sm 27436  df-0v 27437  df-vs 27438  df-nmcv 27439
This theorem is referenced by:  nvmeq0  27497  vacn  27533  smcnlem  27536  sspimsval  27577  blometi  27642  dipsubdi  27688  siilem1  27690  sspph  27694  ip2eqi  27696  minvecolem1  27714  minvecolem2  27715  minvecolem4  27720  minvecolem5  27721  minvecolem6  27722
  Copyright terms: Public domain W3C validator