MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvmdi 27349
Description: Distributive law for scalar product over subtraction. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmdi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmdi.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
nvmdi.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvmdi ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)))

Proof of Theorem nvmdi
StepHypRef Expression
1 simpr1 1065 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simpr2 1066 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐵𝑋)
3 neg1cn 11068 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
4 nvmdi.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 nvmdi.4 . . . . . . . 8 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
64, 5nvscl 27327 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
73, 6mp3an2 1409 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
873ad2antr3 1226 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
91, 2, 83jca 1240 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋))
10 eqid 2621 . . . . 5 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
114, 10, 5nvdi 27331 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))))
129, 11syldan 487 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))))
134, 5nvscom 27330 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
143, 13mp3anr2 1419 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
15143adantr2 1219 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
1615oveq2d 6620 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
1712, 16eqtrd 2655 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
18 nvmdi.3 . . . . 5 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
194, 10, 5, 18nvmval 27343 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵𝑀𝐶) = (𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶)))
20193adant3r1 1271 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵𝑀𝐶) = (𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶)))
2120oveq2d 6620 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))))
22 simpl 473 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
234, 5nvscl 27327 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
24233adant3r3 1273 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
254, 5nvscl 27327 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋) → (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
26253adant3r2 1272 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
274, 10, 5, 18nvmval 27343 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
2822, 24, 26, 27syl3anc 1323 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
2917, 21, 283eqtr4d 2665 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  1c1 9881  -cneg 10211  NrmCVeccnv 27285   +𝑣 cpv 27286  BaseSetcba 27287   ·𝑠OLD cns 27288  𝑣 cnsb 27290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-sub 10212  df-neg 10213  df-grpo 27193  df-gid 27194  df-ginv 27195  df-gdiv 27196  df-ablo 27245  df-vc 27260  df-nv 27293  df-va 27296  df-ba 27297  df-sm 27298  df-0v 27299  df-vs 27300  df-nmcv 27301
This theorem is referenced by:  smcnlem  27398  minvecolem2  27577
  Copyright terms: Public domain W3C validator