MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvmdi 27701
Description: Distributive law for scalar product over subtraction. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmdi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmdi.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
nvmdi.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvmdi ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)))

Proof of Theorem nvmdi
StepHypRef Expression
1 simpr1 1149 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simpr2 1150 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐵𝑋)
3 neg1cn 11205 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
4 nvmdi.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 nvmdi.4 . . . . . . . 8 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
64, 5nvscl 27679 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
73, 6mp3an2 1493 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
873ad2antr3 1301 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
91, 2, 83jca 1315 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋))
10 eqid 2692 . . . . 5 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
114, 10, 5nvdi 27683 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))))
129, 11syldan 488 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))))
134, 5nvscom 27682 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
143, 13mp3anr2 1503 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
15143adantr2 1294 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
1615oveq2d 6749 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
1712, 16eqtrd 2726 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
18 nvmdi.3 . . . . 5 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
194, 10, 5, 18nvmval 27695 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵𝑀𝐶) = (𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶)))
20193adant3r1 1336 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵𝑀𝐶) = (𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶)))
2120oveq2d 6749 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))))
22 simpl 474 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
234, 5nvscl 27679 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
24233adant3r3 1338 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
254, 5nvscl 27679 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋) → (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
26253adant3r2 1337 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
274, 10, 5, 18nvmval 27695 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
2822, 24, 26, 27syl3anc 1407 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
2917, 21, 283eqtr4d 2736 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1564  wcel 2071  cfv 5969  (class class class)co 6733  cc 10015  1c1 10018  -cneg 10348  NrmCVeccnv 27637   +𝑣 cpv 27638  BaseSetcba 27639   ·𝑠OLD cns 27640  𝑣 cnsb 27642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-rep 4847  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-op 4260  df-uni 4513  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-id 5096  df-po 5107  df-so 5108  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-ltxr 10160  df-sub 10349  df-neg 10350  df-grpo 27545  df-gid 27546  df-ginv 27547  df-gdiv 27548  df-ablo 27597  df-vc 27612  df-nv 27645  df-va 27648  df-ba 27649  df-sm 27650  df-0v 27651  df-vs 27652  df-nmcv 27653
This theorem is referenced by:  smcnlem  27750  minvecolem2  27929
  Copyright terms: Public domain W3C validator