Theorem nvmeq0 30751

Description: The difference between two vectors is zero iff they are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmeq0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmeq0.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
nvmeq0.5	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvmeq0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑀𝐵) = 𝑍 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem nvmeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvmeq0.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nvmeq0.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
3	1, 2	nvmcl 30739	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋)
4	3	3expb 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋)
5		nvmeq0.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
6	1, 5	nvzcl 30727	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ 𝑋)
7	6	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑍 ∈ 𝑋)
8		simprr 779	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
9	4, 7, 8	3jca 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋))
10		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
11	1, 10	nvrcan 30717	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((𝐴𝑀𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) ↔ (𝐴𝑀𝐵) = 𝑍))
12	9, 11	syldan 598	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) ↔ (𝐴𝑀𝐵) = 𝑍))
13	12	3impb 1121	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) ↔ (𝐴𝑀𝐵) = 𝑍))
14	1, 10, 2	nvnpcan 30749	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = 𝐴)
15	1, 10, 5	nv0lid 30729	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑍( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = 𝐵)
16	15	3adant2 1138	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑍( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = 𝐵)
17	14, 16	eqeq12d 2757	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (((𝐴𝑀𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (𝑍( +𝑣 ‘𝑈)𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
18	13, 17	bitr3d 283	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑀𝐵) = 𝑍 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  NrmCVeccnv 30677   +_𝑣 cpv 30678  BaseSetcba 30679  0_veccn0v 30681   −_𝑣 cnsb 30682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-sub 11374  df-neg 11375  df-grpo 30586  df-gid 30587  df-ginv 30588  df-gdiv 30589  df-ablo 30638  df-vc 30652  df-nv 30685  df-va 30688  df-ba 30689  df-sm 30690  df-0v 30691  df-vs 30692  df-nmcv 30693

This theorem is referenced by:  nvmid  30752  ip2eqi  30949