MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvmf 27349
Description: Mapping for the vector subtraction operation. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmf.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmf.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvmf (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)

Proof of Theorem nvmf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2 simprl 793 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥𝑋)
3 neg1cn 11068 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
4 nvmf.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 eqid 2621 . . . . . . . 8 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
64, 5nvscl 27330 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦) ∈ 𝑋)
73, 6mp3an2 1409 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑦𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦) ∈ 𝑋)
87adantrl 751 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦) ∈ 𝑋)
9 eqid 2621 . . . . . 6 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
104, 9nvgcl 27324 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)) ∈ 𝑋)
111, 2, 8, 10syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)) ∈ 𝑋)
1211ralrimivva 2965 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)) ∈ 𝑋)
13 eqid 2621 . . . 4 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)))
1413fmpt2 7182 . . 3 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦)) ∈ 𝑋 ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
1512, 14sylib 208 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
16 nvmf.3 . . . 4 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
174, 9, 5, 16nvmfval 27348 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))))
1817feq1d 5987 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝑦))):(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋))
1915, 18mpbird 247 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907   × cxp 5072  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  cc 9878  1c1 9881  -cneg 10211  NrmCVeccnv 27288   +𝑣 cpv 27289  BaseSetcba 27290   ·𝑠OLD cns 27291  𝑣 cnsb 27293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-sub 10212  df-neg 10213  df-grpo 27196  df-gid 27197  df-ginv 27198  df-gdiv 27199  df-ablo 27248  df-vc 27263  df-nv 27296  df-va 27299  df-ba 27300  df-sm 27301  df-0v 27302  df-vs 27303  df-nmcv 27304
This theorem is referenced by:  nvmcl  27350  imsdval  27390  imsdf  27393  sspm  27438  hhssvsf  27979
  Copyright terms: Public domain W3C validator