Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmtri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvmtri 27835
 Description: Triangle inequality for the norm of a vector difference. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmtri.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmtri.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
nvmtri.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvmtri ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐵)))

Proof of Theorem nvmtri
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11316 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
2 nvmtri.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 eqid 2760 . . . . . 6 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
42, 3nvscl 27790 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
51, 4mp3an2 1561 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
653adant2 1126 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵) ∈ 𝑋)
7 eqid 2760 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
8 nvmtri.6 . . . 4 𝑁 = (normCV𝑈)
92, 7, 8nvtri 27834 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))))
106, 9syld3an3 1516 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))))
11 nvmtri.3 . . . 4 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
122, 7, 3, 11nvmval 27806 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
1312fveq2d 6356 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)) = (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))))
142, 3, 8nvs 27827 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)) = ((abs‘-1) · (𝑁𝐵)))
151, 14mp3an2 1561 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)) = ((abs‘-1) · (𝑁𝐵)))
16 ax-1cn 10186 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
1716absnegi 14338 . . . . . . . 8 (abs‘-1) = (abs‘1)
18 abs1 14236 . . . . . . . 8 (abs‘1) = 1
1917, 18eqtri 2782 . . . . . . 7 (abs‘-1) = 1
2019oveq1i 6823 . . . . . 6 ((abs‘-1) · (𝑁𝐵)) = (1 · (𝑁𝐵))
212, 8nvcl 27825 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) ∈ ℝ)
2221recnd 10260 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) ∈ ℂ)
2322mulid2d 10250 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (1 · (𝑁𝐵)) = (𝑁𝐵))
2420, 23syl5eq 2806 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((abs‘-1) · (𝑁𝐵)) = (𝑁𝐵))
2515, 24eqtr2d 2795 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) = (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
26253adant2 1126 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁𝐵) = (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))
2726oveq2d 6829 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐵)) = ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))))
2810, 13, 273brtr4d 4836 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑀𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   ≤ cle 10267  -cneg 10459  abscabs 14173  NrmCVeccnv 27748   +𝑣 cpv 27749  BaseSetcba 27750   ·𝑠OLD cns 27751   −𝑣 cnsb 27753  normCVcnmcv 27754 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-grpo 27656  df-gid 27657  df-ginv 27658  df-gdiv 27659  df-ablo 27708  df-vc 27723  df-nv 27756  df-va 27759  df-ba 27760  df-sm 27761  df-0v 27762  df-vs 27763  df-nmcv 27764 This theorem is referenced by:  ubthlem2  28036
 Copyright terms: Public domain W3C validator