MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvpi 26696
Description: The norm of a vector plus the imaginary scalar product of another. (Contributed by NM, 2-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvdif.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvdif.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
nvdif.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvdif.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvpi ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))

Proof of Theorem nvpi
StepHypRef Expression
1 simp1 1053 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2 ax-icn 9848 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
3 nvdif.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4 nvdif.4 . . . . . . . . 9 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
53, 4nvscl 26648 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
62, 5mp3an2 1403 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
763adant2 1072 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
8 nvdif.2 . . . . . . 7 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
93, 8nvgcl 26640 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
107, 9syld3an3 1362 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋)
11 nvdif.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑈)
123, 11nvcl 26689 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
131, 10, 12syl2anc 690 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℝ)
1413recnd 9921 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) ∈ ℂ)
1514mulid2d 9911 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))))
162absnegi 13930 . . . . 5 (abs‘-i) = (abs‘i)
17 absi 13817 . . . . 5 (abs‘i) = 1
1816, 17eqtri 2628 . . . 4 (abs‘-i) = 1
1918oveq1i 6534 . . 3 ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (1 · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))))
20 negicn 10130 . . . . . 6 -i ∈ ℂ
213, 4, 11nvs 26692 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))))
2220, 21mp3an2 1403 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺(i𝑆𝐵)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))))
231, 10, 22syl2anc 690 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))))
24 simp2 1054 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
253, 8, 4nvdi 26652 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))))
2620, 25mp3anr1 1412 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋 ∧ (i𝑆𝐵) ∈ 𝑋)) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))))
271, 24, 7, 26syl12anc 1315 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))))
282, 2mulneg1i 10323 . . . . . . . . . . 11 (-i · i) = -(i · i)
29 ixi 10502 . . . . . . . . . . . . 13 (i · i) = -1
3029negeqi 10122 . . . . . . . . . . . 12 -(i · i) = --1
31 negneg1e1 10972 . . . . . . . . . . . 12 --1 = 1
3230, 31eqtri 2628 . . . . . . . . . . 11 -(i · i) = 1
3328, 32eqtri 2628 . . . . . . . . . 10 (-i · i) = 1
3433oveq1i 6534 . . . . . . . . 9 ((-i · i)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵)
353, 4nvsass 26650 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((-i · i)𝑆𝐵) = (-i𝑆(i𝑆𝐵)))
3620, 35mp3anr1 1412 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → ((-i · i)𝑆𝐵) = (-i𝑆(i𝑆𝐵)))
372, 36mpanr1 714 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((-i · i)𝑆𝐵) = (-i𝑆(i𝑆𝐵)))
383, 4nvsid 26649 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
3934, 37, 383eqtr3a 2664 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (-i𝑆(i𝑆𝐵)) = 𝐵)
40393adant2 1072 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i𝑆(i𝑆𝐵)) = 𝐵)
4140oveq2d 6540 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((-i𝑆𝐴)𝐺(-i𝑆(i𝑆𝐵))) = ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐵))
423, 4nvscl 26648 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
4320, 42mp3an2 1403 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
44433adant3 1073 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
453, 8nvcom 26641 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐵) = (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))
4644, 45syld3an2 1364 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((-i𝑆𝐴)𝐺𝐵) = (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))
4727, 41, 463eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (𝐵𝐺(-i𝑆𝐴)))
4847fveq2d 6089 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(-i𝑆(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))
4923, 48eqtr3d 2642 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((abs‘-i) · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))
5019, 49syl5eqr 2654 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (1 · (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵)))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))
5115, 50eqtr3d 2642 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝐺(i𝑆𝐵))) = (𝑁‘(𝐵𝐺(-i𝑆𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5787  (class class class)co 6524  cc 9787  cr 9788  1c1 9790  ici 9791   · cmul 9794  -cneg 10115  abscabs 13765  NrmCVeccnv 26604   +𝑣 cpv 26605  BaseSetcba 26606   ·𝑠OLD cns 26607  normCVcnmcv 26610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-sup 8205  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-rp 11662  df-seq 12616  df-exp 12675  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-grpo 26494  df-ablo 26549  df-vc 26564  df-nv 26612  df-va 26615  df-ba 26616  df-sm 26617  df-0v 26618  df-nmcv 26620
This theorem is referenced by:  dipcj  26754
  Copyright terms: Public domain W3C validator