MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvpncan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvpncan2 27636
Description: Cancellation law for vector subtraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvpncan2.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvpncan2.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
nvpncan2.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvpncan2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem nvpncan2
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2 nvpncan2.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 nvpncan2.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
42, 3nvgcl 27603 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
5 simp2 1082 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
6 eqid 2651 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
7 nvpncan2.3 . . . 4 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
82, 3, 6, 7nvmval 27625 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋𝐴𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
91, 4, 5, 8syl3anc 1366 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
10 simp3 1083 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
11 neg1cn 11162 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
122, 6nvscl 27609 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
1311, 12mp3an2 1452 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
14133adant3 1101 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
152, 3nvadd32 27606 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))𝐺𝐵))
161, 5, 10, 14, 15syl13anc 1368 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))𝐺𝐵))
17 eqid 2651 . . . . . . 7 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
182, 3, 6, 17nvrinv 27634 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (0vec𝑈))
19183adant3 1101 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (0vec𝑈))
2019oveq1d 6705 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))𝐺𝐵) = ((0vec𝑈)𝐺𝐵))
212, 3, 17nv0lid 27619 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → ((0vec𝑈)𝐺𝐵) = 𝐵)
22213adant2 1100 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((0vec𝑈)𝐺𝐵) = 𝐵)
2320, 22eqtrd 2685 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))𝐺𝐵) = 𝐵)
2416, 23eqtrd 2685 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = 𝐵)
259, 24eqtrd 2685 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  1c1 9975  -cneg 10305  NrmCVeccnv 27567   +𝑣 cpv 27568  BaseSetcba 27569   ·𝑠OLD cns 27570  0veccn0v 27571  𝑣 cnsb 27572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583
This theorem is referenced by:  nvpncan  27637  blocnilem  27787  ubthlem2  27855
  Copyright terms: Public domain W3C validator