Theorem nvpncan2 27636

Description: Cancellation law for vector subtraction. (Contributed by NM, 27-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvpncan2.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvpncan2.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nvpncan2.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvpncan2	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem nvpncan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1081	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
2		nvpncan2.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		nvpncan2.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
4	2, 3	nvgcl 27603	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
5		simp2 1082	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		eqid 2651	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7		nvpncan2.3	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
8	2, 3, 6, 7	nvmval 27625	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
9	1, 4, 5, 8	syl3anc 1366	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)))
10		simp3 1083	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
11		neg1cn 11162	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
12	2, 6	nvscl 27609	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
13	11, 12	mp3an2 1452	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
14	13	3adant3 1101	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
15	2, 3	nvadd32 27606	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))𝐺𝐵))
16	1, 5, 10, 14, 15	syl13anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))𝐺𝐵))
17		eqid 2651	. . . . . . 7 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
18	2, 3, 6, 17	nvrinv 27634	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = (0vec‘𝑈))
19	18	3adant3 1101	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = (0vec‘𝑈))
20	19	oveq1d 6705	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))𝐺𝐵) = ((0vec‘𝑈)𝐺𝐵))
21	2, 3, 17	nv0lid 27619	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝐺𝐵) = 𝐵)
22	21	3adant2 1100	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((0vec‘𝑈)𝐺𝐵) = 𝐵)
23	20, 22	eqtrd 2685	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴))𝐺𝐵) = 𝐵)
24	16, 23	eqtrd 2685	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)) = 𝐵)
25	9, 24	eqtrd 2685	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝐺𝐵)𝑀𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  1c1 9975  -cneg 10305  NrmCVeccnv 27567   +_𝑣 cpv 27568  BaseSetcba 27569   ·_𝑠OLD cns 27570  0_veccn0v 27571   −_𝑣 cnsb 27572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583

This theorem is referenced by:  nvpncan  27637  blocnilem  27787  ubthlem2  27855