Theorem nvsge0 27717

Description: The norm of a scalar product with a nonnegative real. (Contributed by NM, 1-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvs.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvs.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
nvs.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvsge0	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑆𝐵)) = (𝐴 · (𝑁‘𝐵)))

Proof of Theorem nvsge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 10107	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 472	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3		nvs.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4		nvs.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
5		nvs.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
6	3, 4, 5	nvs 27716	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑆𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
7	2, 6	syl3an2 1441	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑆𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)))
8		absid 14124	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
9	8	3ad2ant2 1126	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
10	9	oveq1d 6748	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((abs‘𝐴) · (𝑁‘𝐵)) = (𝐴 · (𝑁‘𝐵)))
11	7, 10	eqtrd 2726	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑆𝐵)) = (𝐴 · (𝑁‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1564   ∈ wcel 2071   class class class wbr 4728  ‘cfv 5969  (class class class)co 6733  ℂcc 10015  ℝcr 10016  0cc0 10017   · cmul 10022   ≤ cle 10156  abscabs 14062  NrmCVeccnv 27637  BaseSetcba 27639   ·_𝑠OLD cns 27640  norm_CVcnmcv 27643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-rep 4847  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094  ax-pre-sup 10095

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-sup 8432  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-div 10766  df-nn 11102  df-2 11160  df-3 11161  df-n0 11374  df-z 11459  df-uz 11769  df-rp 11915  df-seq 12885  df-exp 12944  df-cj 13927  df-re 13928  df-im 13929  df-sqrt 14063  df-abs 14064  df-vc 27612  df-nv 27645  df-va 27648  df-ba 27649  df-sm 27650  df-0v 27651  df-nmcv 27653

This theorem is referenced by:  nvz0  27721  nv1  27728  ipidsq  27763  nmblolbii  27852  blocnilem  27857  ubthlem2  27925