Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvsz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvsz 27621
 Description: Anything times the zero vector is the zero vector. (Contributed by NM, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvsz.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvsz.6 𝑍 = (0vec𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvsz ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)

Proof of Theorem nvsz
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . 4 (1st𝑈) = (1st𝑈)
21nvvc 27598 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (1st𝑈) ∈ CVecOLD)
3 eqid 2651 . . . . 5 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
43vafval 27586 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = (1st ‘(1st𝑈))
5 nvsz.4 . . . . 5 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
65smfval 27588 . . . 4 𝑆 = (2nd ‘(1st𝑈))
7 eqid 2651 . . . . 5 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
87, 3bafval 27587 . . . 4 (BaseSet‘𝑈) = ran ( +𝑣𝑈)
9 eqid 2651 . . . 4 (GId‘( +𝑣𝑈)) = (GId‘( +𝑣𝑈))
104, 6, 8, 9vcz 27558 . . 3 (((1st𝑈) ∈ CVecOLD𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆(GId‘( +𝑣𝑈))) = (GId‘( +𝑣𝑈)))
112, 10sylan 487 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆(GId‘( +𝑣𝑈))) = (GId‘( +𝑣𝑈)))
12 nvsz.6 . . . . 5 𝑍 = (0vec𝑈)
133, 120vfval 27589 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 = (GId‘( +𝑣𝑈)))
1413adantr 480 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → 𝑍 = (GId‘( +𝑣𝑈)))
1514oveq2d 6706 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆𝑍) = (𝐴𝑆(GId‘( +𝑣𝑈))))
1611, 15, 143eqtr4d 2695 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1st c1st 7208  ℂcc 9972  GIdcgi 27472  CVecOLDcvc 27541  NrmCVeccnv 27567   +𝑣 cpv 27568  BaseSetcba 27569   ·𝑠OLD cns 27570  0veccn0v 27571 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-nmcv 27583 This theorem is referenced by:  nvmul0or  27633  nvnd  27671  dip0r  27700  0lno  27773
 Copyright terms: Public domain W3C validator