Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvz0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvz0 27651
 Description: The norm of a zero vector is zero. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvz0.5 𝑍 = (0vec𝑈)
nvz0.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvz0 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁𝑍) = 0)

Proof of Theorem nvz0
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . 4 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
2 nvz0.5 . . . 4 𝑍 = (0vec𝑈)
31, 2nvzcl 27617 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈))
4 0re 10078 . . . . 5 0 ∈ ℝ
5 0le0 11148 . . . . 5 0 ≤ 0
64, 5pm3.2i 470 . . . 4 (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0)
7 eqid 2651 . . . . 5 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
8 nvz0.6 . . . . 5 𝑁 = (normCV𝑈)
91, 7, 8nvsge0 27647 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0) ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)) = (0 · (𝑁𝑍)))
106, 9mp3an2 1452 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)) = (0 · (𝑁𝑍)))
113, 10mpdan 703 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)) = (0 · (𝑁𝑍)))
121, 7, 2nv0 27620 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (0( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
133, 12mpdan 703 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (0( ·𝑠OLD𝑈)𝑍) = 𝑍)
1413fveq2d 6233 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0( ·𝑠OLD𝑈)𝑍)) = (𝑁𝑍))
151, 8nvcl 27644 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁𝑍) ∈ ℝ)
1615recnd 10106 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑍 ∈ (BaseSet‘𝑈)) → (𝑁𝑍) ∈ ℂ)
173, 16mpdan 703 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁𝑍) ∈ ℂ)
1817mul02d 10272 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → (0 · (𝑁𝑍)) = 0)
1911, 14, 183eqtr3d 2693 1 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁𝑍) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979   ≤ cle 10113  NrmCVeccnv 27567  BaseSetcba 27569   ·𝑠OLD cns 27570  0veccn0v 27571  normCVcnmcv 27573 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-nmcv 27583 This theorem is referenced by:  nvz  27652  nvge0  27656  ipidsq  27693  nmosetn0  27748  nmoo0  27774  nmlnoubi  27779  nmblolbii  27782  blocnilem  27787
 Copyright terms: Public domain W3C validator