Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nznngen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nznngen 38018
 Description: All positive integers in the set of multiples of n, nℤ, are the absolute value of n or greater. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
nznngen.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
nznngen (𝜑 → (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ⊆ (ℤ‘(abs‘𝑁)))

Proof of Theorem nznngen
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldvds 38017 . . . . . . . 8 Rel ∥
2 relimasn 5449 . . . . . . . 8 (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥})
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥}
43ineq1i 3790 . . . . . 6 (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) = ({𝑥𝑁𝑥} ∩ ℕ)
5 dfrab2 3881 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥} = ({𝑥𝑁𝑥} ∩ ℕ)
64, 5eqtr4i 2646 . . . . 5 (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥}
76eleq2i 2690 . . . 4 (𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥})
8 rabid 3106 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑥))
9 nznngen.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
10 nnz 11346 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
11 absdvdsb 14927 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁𝑥 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑥))
129, 10, 11syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑁𝑥 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑥))
13 zabscl 13990 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
149, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
15 dvdsle 14959 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
1614, 15sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
1712, 16sylbid 230 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑁𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
1817impr 648 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑥)) → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥)
198, 18sylan2b 492 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥}) → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥)
208simplbi 476 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥} → 𝑥 ∈ ℕ)
2120nnzd 11428 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥} → 𝑥 ∈ ℤ)
22 eluz 11648 . . . . . 6 (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁)) ↔ (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
2314, 21, 22syl2an 494 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥}) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁)) ↔ (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
2419, 23mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥}) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁)))
257, 24sylan2b 492 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁)))
2625ex 450 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁))))
2726ssrdv 3590 1 (𝜑 → (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ⊆ (ℤ‘(abs‘𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {cab 2607  {crab 2911   ∩ cin 3555   ⊆ wss 3556  {csn 4150   class class class wbr 4615   “ cima 5079  Rel wrel 5081  ‘cfv 5849   ≤ cle 10022  ℕcn 10967  ℤcz 11324  ℤ≥cuz 11634  abscabs 13911   ∥ cdvds 14910 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-seq 12745  df-exp 12804  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-dvds 14911 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator