Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nznngen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nznngen 38018
Description: All positive integers in the set of multiples of n, nℤ, are the absolute value of n or greater. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
nznngen.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
nznngen (𝜑 → (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ⊆ (ℤ‘(abs‘𝑁)))

Proof of Theorem nznngen
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldvds 38017 . . . . . . . 8 Rel ∥
2 relimasn 5449 . . . . . . . 8 (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥})
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥}
43ineq1i 3790 . . . . . 6 (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) = ({𝑥𝑁𝑥} ∩ ℕ)
5 dfrab2 3881 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥} = ({𝑥𝑁𝑥} ∩ ℕ)
64, 5eqtr4i 2646 . . . . 5 (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥}
76eleq2i 2690 . . . 4 (𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥})
8 rabid 3106 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑥))
9 nznngen.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
10 nnz 11346 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
11 absdvdsb 14927 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁𝑥 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑥))
129, 10, 11syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑁𝑥 ↔ (abs‘𝑁) ∥ 𝑥))
13 zabscl 13990 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
149, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
15 dvdsle 14959 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
1614, 15sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) ∥ 𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
1712, 16sylbid 230 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝑁𝑥 → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
1817impr 648 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑥)) → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥)
198, 18sylan2b 492 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥}) → (abs‘𝑁) ≤ 𝑥)
208simplbi 476 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥} → 𝑥 ∈ ℕ)
2120nnzd 11428 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥} → 𝑥 ∈ ℤ)
22 eluz 11648 . . . . . 6 (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁)) ↔ (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
2314, 21, 22syl2an 494 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥}) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁)) ↔ (abs‘𝑁) ≤ 𝑥))
2419, 23mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑁𝑥}) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁)))
257, 24sylan2b 492 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ)) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁)))
2625ex 450 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) → 𝑥 ∈ (ℤ‘(abs‘𝑁))))
2726ssrdv 3590 1 (𝜑 → (( ∥ “ {𝑁}) ∩ ℕ) ⊆ (ℤ‘(abs‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  {crab 2911  cin 3555  wss 3556  {csn 4150   class class class wbr 4615  cima 5079  Rel wrel 5081  cfv 5849  cle 10022  cn 10967  cz 11324  cuz 11634  abscabs 13911  cdvds 14910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-sup 8295  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-seq 12745  df-exp 12804  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-dvds 14911
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator