Theorem nzprmdif 40644

Description: Subtract one prime's multiples from an unequal prime's. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
nzprmdif.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℙ)
nzprmdif.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)
nzprmdif.ne	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
nzprmdif	⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))

Proof of Theorem nzprmdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difin 4237	. . 3 ⊢ (( ∥ “ {𝑀}) ∖ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁}))) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁}))
2		nzprmdif.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℙ)
3		prmz 16013	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → 𝑀 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		nzprmdif.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℙ)
6		prmz 16013	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8	4, 7	nzin 40643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}))
9	8	difeq2d 4098	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁}))) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})))
10	1, 9	syl5eqr 2870	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})))
11		lcmgcd 15945	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
12	4, 7, 11	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
13		nzprmdif.ne	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑁)
14		prmrp 16050	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))
15	2, 5, 14	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑀 ≠ 𝑁))
16	13, 15	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
17	16	oveq2d 7166	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 lcm 𝑁) · 1))
18		lcmcl 15939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
19	4, 7, 18	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
20	19	nn0cnd 11951	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ)
21	20	mulid1d 10652	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · 1) = (𝑀 lcm 𝑁))
22	17, 21	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
23	4	zred 12081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
24	7	zred 12081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
25	23, 24	remulcld 10665	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ)
26		prmnn 16012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℙ → 𝑀 ∈ ℕ)
27	2, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28	27	nnnn0d 11949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
29	28	nn0ge0d 11952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
30		prmnn 16012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
31	5, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
32	31	nnnn0d 11949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	32	nn0ge0d 11952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
34	23, 24, 29, 33	mulge0d 11211	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 · 𝑁))
35	25, 34	absidd 14776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))
36	12, 22, 35	3eqtr3d 2864	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
37	36	sneqd 4572	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝑀 lcm 𝑁)} = {(𝑀 · 𝑁)})
38	37	imaeq2d 5923	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) = ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)}))
39	38	difeq2d 4098	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))
40	10, 39	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3932   ∩ cin 3934  {csn 4560   “ cima 5552  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  1c1 10532   · cmul 10536  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975  abscabs 14587   ∥ cdvds 15601   gcd cgcd 15837   lcm clcm 15926  ℙcprime 16009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-gcd 15838  df-lcm 15928  df-prm 16010

This theorem is referenced by: (None)