Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nzprmdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nzprmdif 38000
Description: Subtract one prime's multiples from an unequal prime's. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nzprmdif.m (𝜑𝑀 ∈ ℙ)
nzprmdif.n (𝜑𝑁 ∈ ℙ)
nzprmdif.ne (𝜑𝑀𝑁)
Assertion
Ref Expression
nzprmdif (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))

Proof of Theorem nzprmdif
StepHypRef Expression
1 difin 3839 . . 3 (( ∥ “ {𝑀}) ∖ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁}))) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁}))
2 nzprmdif.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℙ)
3 prmz 15313 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℙ → 𝑀 ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 nzprmdif.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℙ)
6 prmz 15313 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℤ)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
84, 7nzin 37999 . . . 4 (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁})) = ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}))
98difeq2d 3706 . . 3 (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ (( ∥ “ {𝑀}) ∩ ( ∥ “ {𝑁}))) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})))
101, 9syl5eqr 2669 . 2 (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})))
11 lcmgcd 15244 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
124, 7, 11syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
13 nzprmdif.ne . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝑁)
14 prmrp 15348 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℙ) → ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑀𝑁))
152, 5, 14syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 gcd 𝑁) = 1 ↔ 𝑀𝑁))
1613, 15mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
1716oveq2d 6620 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑀 lcm 𝑁) · 1))
18 lcmcl 15238 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
194, 7, 18syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
2019nn0cnd 11297 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ)
2120mulid1d 10001 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · 1) = (𝑀 lcm 𝑁))
2217, 21eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
234zred 11426 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
247zred 11426 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2523, 24remulcld 10014 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ)
26 prmnn 15312 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℙ → 𝑀 ∈ ℕ)
272, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
2827nnnn0d 11295 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
2928nn0ge0d 11298 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
30 prmnn 15312 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℙ → 𝑁 ∈ ℕ)
315, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3231nnnn0d 11295 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
3332nn0ge0d 11298 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
3423, 24, 29, 33mulge0d 10548 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀 · 𝑁))
3525, 34absidd 14095 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))
3612, 22, 353eqtr3d 2663 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
3736sneqd 4160 . . . 4 (𝜑 → {(𝑀 lcm 𝑁)} = {(𝑀 · 𝑁)})
3837imaeq2d 5425 . . 3 (𝜑 → ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)}) = ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)}))
3938difeq2d 3706 . 2 (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 lcm 𝑁)})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))
4010, 39eqtrd 2655 1 (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {𝑁})) = (( ∥ “ {𝑀}) ∖ ( ∥ “ {(𝑀 · 𝑁)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3552  cin 3554  {csn 4148  cima 5077  cfv 5847  (class class class)co 6604  1c1 9881   · cmul 9885  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  abscabs 13908  cdvds 14907   gcd cgcd 15140   lcm clcm 15225  cprime 15309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-lcm 15227  df-prm 15310
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator