Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nzss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nzss 38833
 Description: The set of multiples of m, mℤ, is a subset of those of n, nℤ, iff n divides m. Lemma 2.1(a) of https://www.mscs.dal.ca/~selinger/3343/handouts/ideals.pdf p. 5, with mℤ and nℤ as images of the divides relation under m and n. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nzss.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
nzss.n (𝜑𝑁𝑉)
Assertion
Ref Expression
nzss (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁𝑀))

Proof of Theorem nzss
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nzss.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 nzss.n . 2 (𝜑𝑁𝑉)
3 iddvds 15042 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀𝑀)
4 breq2 4689 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → (𝑀𝑥𝑀𝑀))
54elabg 3383 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ {𝑥𝑀𝑥} ↔ 𝑀𝑀))
63, 5mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ {𝑥𝑀𝑥})
7 reldvds 38831 . . . . . . . . 9 Rel ∥
8 relimasn 5523 . . . . . . . . 9 (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑀}) = {𝑥𝑀𝑥})
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 ( ∥ “ {𝑀}) = {𝑥𝑀𝑥}
106, 9syl6eleqr 2741 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑀}))
11 ssel 3630 . . . . . . 7 (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑀}) → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁})))
1210, 11syl5 34 . . . . . 6 (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁})))
13 breq2 4689 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝑁𝑥𝑁𝑀))
14 relimasn 5523 . . . . . . . 8 (Rel ∥ → ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥})
157, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 ( ∥ “ {𝑁}) = {𝑥𝑁𝑥}
1613, 15elab2g 3385 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁𝑀))
1712, 16mpbidi 231 . . . . 5 (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑁𝑀))
1817com12 32 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → 𝑁𝑀))
1918adantr 480 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) → 𝑁𝑀))
20 ssid 3657 . . . . . . 7 {0} ⊆ {0}
21 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → 𝑁𝑀)
22 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = 0 → (𝑁𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
23 dvdszrcl 15032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁𝑀 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
2423simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁𝑀𝑀 ∈ ℤ)
25 0dvds 15049 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀𝑀 = 0))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁𝑀 → (0 ∥ 𝑀𝑀 = 0))
2722, 26sylan9bbr 737 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → (𝑁𝑀𝑀 = 0))
2821, 27mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → 𝑀 = 0)
2928breq1d 4695 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → (𝑀𝑥 ↔ 0 ∥ 𝑥))
30 0dvds 15049 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑥𝑥 = 0))
3129, 30sylan9bb 736 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑀𝑁 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑀𝑥𝑥 = 0))
3231rabbidva 3219 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0})
33 0z 11426 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
34 rabsn 4288 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0} = {0})
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0} = {0}
3632, 35syl6eq 2701 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {0})
37 breq1 4688 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 0 → (𝑁𝑥 ↔ 0 ∥ 𝑥))
3837rabbidv 3220 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥})
3930rabbiia 3215 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑥 = 0}
4039, 35eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 0 ∥ 𝑥} = {0}
4138, 40syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {0})
4241adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {0})
4336, 42sseq12d 3667 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} ↔ {0} ⊆ {0}))
4420, 43mpbiri 248 . . . . . 6 ((𝑁𝑀𝑁 = 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥})
4524zcnd 11521 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁𝑀𝑀 ∈ ℂ)
4645ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
4723simpld 474 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁𝑀𝑁 ∈ ℤ)
4847zcnd 11521 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁𝑀𝑁 ∈ ℂ)
4948ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
50 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
5146, 49, 50divcan2d 10841 . . . . . . . . . 10 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) = 𝑀)
5251breq1d 4695 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛𝑀𝑛))
5347adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
54 dvdsval2 15030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
5554biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
56553com23 1291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
57563expa 1284 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
5823, 57sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → (𝑁𝑀 → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
5958imp 444 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑁𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
6059anabss1 872 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ)
6153, 60jca 553 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ))
62 muldvds1 15053 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛𝑁𝑛))
63623expa 1284 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛𝑁𝑛))
6461, 63sylan 487 . . . . . . . . 9 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑁 · (𝑀 / 𝑁)) ∥ 𝑛𝑁𝑛))
6552, 64sylbird 250 . . . . . . . 8 (((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀𝑛𝑁𝑛))
6665ss2rabdv 3716 . . . . . . 7 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑛} ⊆ {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑛})
67 breq2 4689 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → (𝑀𝑛𝑀𝑥))
6867cbvrabv 3230 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑛} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥}
69 breq2 4689 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → (𝑁𝑛𝑁𝑥))
7069cbvrabv 3230 . . . . . . 7 {𝑛 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑛} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥}
7166, 68, 703sstr3g 3678 . . . . . 6 ((𝑁𝑀𝑁 ≠ 0) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥})
7244, 71pm2.61dane 2910 . . . . 5 (𝑁𝑀 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥})
73 breq1 4688 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (𝑛𝑥𝑀𝑥))
7473rabbidv 3220 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥})
7573abbidv 2770 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → {𝑥𝑛𝑥} = {𝑥𝑀𝑥})
7674, 75eqeq12d 2666 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥𝑛𝑥} ↔ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {𝑥𝑀𝑥}))
77 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑦) → 𝑛𝑦)
78 dvdszrcl 15032 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑦 → (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
7978simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑦𝑦 ∈ ℤ)
8079ancri 574 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑦 → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑦))
8177, 80impbii 199 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑦) ↔ 𝑛𝑦)
82 breq2 4689 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛𝑥𝑛𝑦))
8382elrab 3396 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑦))
84 vex 3234 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
8584, 82elab 3382 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {𝑥𝑛𝑥} ↔ 𝑛𝑦)
8681, 83, 853bitr4i 292 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} ↔ 𝑦 ∈ {𝑥𝑛𝑥})
8786eqriv 2648 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥𝑛𝑥}
8876, 87vtoclg 3297 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {𝑥𝑀𝑥})
8988adantr 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} = {𝑥𝑀𝑥})
90 breq1 4688 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝑥𝑁𝑥))
9190rabbidv 3220 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥})
9290abbidv 2770 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → {𝑥𝑛𝑥} = {𝑥𝑁𝑥})
9391, 92eqeq12d 2666 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑛𝑥} = {𝑥𝑛𝑥} ↔ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {𝑥𝑁𝑥}))
9493, 87vtoclg 3297 . . . . . . 7 (𝑁𝑉 → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {𝑥𝑁𝑥})
9594adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} = {𝑥𝑁𝑥})
9689, 95sseq12d 3667 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → ({𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑀𝑥} ⊆ {𝑥 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑥} ↔ {𝑥𝑀𝑥} ⊆ {𝑥𝑁𝑥}))
9772, 96syl5ib 234 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁𝑀 → {𝑥𝑀𝑥} ⊆ {𝑥𝑁𝑥}))
989, 15sseq12i 3664 . . . 4 (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ {𝑥𝑀𝑥} ⊆ {𝑥𝑁𝑥})
9997, 98syl6ibr 242 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁𝑀 → ( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁})))
10019, 99impbid 202 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁𝑀))
1011, 2, 100syl2anc 694 1 (𝜑 → (( ∥ “ {𝑀}) ⊆ ( ∥ “ {𝑁}) ↔ 𝑁𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cab 2637   ≠ wne 2823  {crab 2945   ⊆ wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685   “ cima 5146  Rel wrel 5148  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974   · cmul 9979   / cdiv 10722  ℤcz 11415   ∥ cdvds 15027 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-dvds 15028 This theorem is referenced by:  nzin  38834
 Copyright terms: Public domain W3C validator