MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1cxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1cxp 24821
Description: An eventually bounded function taken to a nonnegative power is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1cxp.1 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
o1cxp.2 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
o1cxp.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
o1cxp.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
o1cxp (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem o1cxp
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1cxp.4 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
2 o1f 14380 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
4 o1cxp.3 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
54ralrimiva 3068 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 5745 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
87feq2d 6144 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
93, 8mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
10 o1bdd 14382 . . 3 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚))
111, 9, 10syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚))
12 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
13 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
1413fvmpt2 6405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝐵𝑉) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
1512, 4, 14syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
1615oveq1d 6780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = (𝐵𝑐𝐶))
17 ovex 6793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝑐𝐶) ∈ V
18 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))
1918fvmpt2 6405 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐵𝑐𝐶) ∈ V) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥) = (𝐵𝑐𝐶))
2012, 17, 19sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥) = (𝐵𝑐𝐶))
2116, 20eqtr4d 2761 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥))
2221ralrimiva 3068 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥))
23 nfv 1956 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧(((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥)
24 nffvmpt1 6312 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
25 nfcv 2866 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑐
26 nfcv 2866 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐶
2724, 25, 26nfov 6791 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)
28 nffvmpt1 6312 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)
2927, 28nfeq 2878 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)
30 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))
3130oveq1d 6780 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶))
32 fveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧))
3331, 32eqeq12d 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ((((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)))
3423, 29, 33cbvral 3270 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴 (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥) ↔ ∀𝑧𝐴 (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧))
3522, 34sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧))
3635r19.21bi 3034 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧))
3736ad2ant2r 800 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧))
3837fveq2d 6308 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘(((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)) = (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)))
399ffvelrnda 6474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℂ)
4039ad2ant2r 800 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℂ)
41 o1cxp.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4241ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝐶 ∈ ℂ)
43 o1cxp.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
4443ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
45 simprr 813 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ∈ ℝ)
46 0re 10153 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
47 ifcl 4238 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
4845, 46, 47sylancl 697 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
4948adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
5040abscld 14295 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ∈ ℝ)
5145adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
52 simprr 813 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)
53 max2 12132 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
5446, 45, 53sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
5554adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
5650, 51, 49, 52, 55letrd 10307 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
5740, 42, 44, 49, 56abscxpbnd 24614 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘(((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))
5838, 57eqbrtrrd 4784 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))
5958expr 644 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧𝐴) → ((abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚 → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))))
6059imim2d 57 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))))
6160ralimdva 3064 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))))
624, 1o1mptrcl 14473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6341adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
6462, 63cxpcld 24574 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℂ)
6564, 18fmptd 6500 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ)
6665adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ)
67 o1dm 14381 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
681, 67syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
697, 68eqsstr3d 3746 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
7069adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
71 simprl 811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
72 max1 12130 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
7346, 45, 72sylancr 698 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
7441adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
7574recld 14054 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
7648, 73, 75recxpcld 24589 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) ∈ ℝ)
7774abscld 14295 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
78 pire 24330 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
79 remulcl 10134 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘𝐶) · π) ∈ ℝ)
8077, 78, 79sylancl 697 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝐶) · π) ∈ ℝ)
8180reefcld 14938 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (exp‘((abs‘𝐶) · π)) ∈ ℝ)
8276, 81remulcld 10183 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ)
83 elo12r 14379 . . . . . 6 ((((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))
84833expia 1114 . . . . 5 ((((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ)) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
8566, 70, 71, 82, 84syl22anc 1440 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
8661, 85syld 47 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
8786rexlimdvva 3140 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
8811, 87mpd 15 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  wrex 3015  Vcvv 3304  wss 3680  ifcif 4194   class class class wbr 4760  cmpt 4837  dom cdm 5218  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049   · cmul 10054  cle 10188  cre 13957  abscabs 14094  𝑂(1)co1 14337  expce 14912  πcpi 14917  𝑐ccxp 24422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-o1 14341  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751  df-log 24423  df-cxp 24424
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator