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Theorem o1lo1 14197
Description: A real function is eventually bounded iff it is eventually lower bounded and eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
o1lo1.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
o1lo1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem o1lo1
Dummy variables 𝑚 𝑐 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1dm 14190 . . 3 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ))
3 lo1dm 14179 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
43adantr 481 . . 3 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
54a1i 11 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ))
6 o1lo1.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
76ralrimiva 2965 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
8 dmmptg 5594 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
109sseq1d 3616 . . 3 (𝜑 → (dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
11 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ∈ ℝ)
126adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1312adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
1513, 14absled 14098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (-𝑚𝐵𝐵𝑚)))
16 ancom 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-𝑚𝐵𝐵𝑚) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝑚𝐵))
17 lenegcon1 10477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑚𝐵 ↔ -𝐵𝑚))
1814, 13, 17syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑚𝐵 ↔ -𝐵𝑚))
1918anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑚 ∧ -𝑚𝐵) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚)))
2016, 19syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((-𝑚𝐵𝐵𝑚) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚)))
2115, 20bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚)))
2221imbi2d 330 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
2322ralbidva 2984 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
2423rexbidv 3050 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
2524biimpd 219 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
26 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (𝐵𝑛𝐵𝑚))
2726anbi1d 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝)))
2827imbi2d 330 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝))))
2928rexralbidv 3056 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝))))
30 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑚 → (-𝐵𝑝 ↔ -𝐵𝑚))
3130anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑚 → ((𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚)))
3231imbi2d 330 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 𝑚 → ((𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
3332rexralbidv 3056 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑚 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
3429, 33rspc2ev 3313 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)))
35343anidm12 1380 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)))
3611, 25, 35syl6an 567 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝))))
3736rexlimdva 3029 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝))))
38 simplrr 800 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑛𝑝) → 𝑝 ∈ ℝ)
39 simplrl 799 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ ¬ 𝑛𝑝) → 𝑛 ∈ ℝ)
4038, 39ifclda 4097 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ)
41 max2 11960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 𝑝 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))
4241ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑝 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))
4312adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4443renegcld 10402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
45 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑝 ∈ ℝ)
46 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
4745, 46ifcld 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ)
48 letr 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → ((-𝐵𝑝𝑝 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)) → -𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
4944, 45, 47, 48syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((-𝐵𝑝𝑝 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)) → -𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
5042, 49mpan2d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵𝑝 → -𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
51 lenegcon1 10477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ -if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
5243, 47, 51syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ -if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
5350, 52sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵𝑝 → -if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
54 max1 11958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 𝑛 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))
5554ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))
56 letr 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
5743, 46, 47, 56syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
5855, 57mpan2d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝑛𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
5953, 58anim12d 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((-𝐵𝑝𝐵𝑛) → (-if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6059ancomsd 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝) → (-if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6143, 47absled 14098 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ (-if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6260, 61sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝) → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
6362imim2d 57 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6463ralimdva 2961 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6564reximdv 3015 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
66 breq2 4622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
6766imbi2d 330 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) → ((𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6867rexralbidv 3056 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6968rspcev 3300 . . . . . . . . . . 11 ((if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚))
7040, 65, 69syl6an 567 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
7170rexlimdvva 3036 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
7237, 71impbid 202 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝))))
73 rexanre 14015 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
7473adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
75742rexbidv 3055 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
7672, 75bitrd 268 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
77 reeanv 3102 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)))
7876, 77syl6bb 276 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
79 rexcom 3096 . . . . . 6 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚))
80 rexcom 3096 . . . . . . 7 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛))
81 rexcom 3096 . . . . . . 7 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))
8280, 81anbi12i 732 . . . . . 6 ((∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)))
8378, 79, 823bitr4g 303 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
84 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
8512recnd 10013 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
8684, 85elo1mpt 14194 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
8784, 12ello1mpt 14181 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛)))
8812renegcld 10402 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
8984, 88ello1mpt 14181 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)))
9087, 89anbi12d 746 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
9183, 86, 903bitr4d 300 . . . 4 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
9291ex 450 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))))
9310, 92sylbid 230 . 2 (𝜑 → (dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))))
942, 5, 93pm5.21ndd 369 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913  wss 3560  ifcif 4063   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  cfv 5850  cr 9880  cle 10020  -cneg 10212  abscabs 13903  𝑂(1)co1 14146  ≤𝑂(1)clo1 14147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12120  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-o1 14150  df-lo1 14151
This theorem is referenced by:  o1lo12  14198  o1lo1d  14199  icco1  14200  lo1sub  14290
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