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Theorem o1lo1 14312
Description: A real function is eventually bounded iff it is eventually lower bounded and eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
o1lo1.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
o1lo1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem o1lo1
Dummy variables 𝑚 𝑐 𝑛 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1dm 14305 . . 3 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ))
3 lo1dm 14294 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
43adantr 480 . . 3 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
54a1i 11 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ))
6 o1lo1.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
76ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
8 dmmptg 5670 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
109sseq1d 3665 . . 3 (𝜑 → (dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
11 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ∈ ℝ)
126adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
1312adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
14 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑚 ∈ ℝ)
1513, 14absled 14213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (-𝑚𝐵𝐵𝑚)))
16 ancom 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-𝑚𝐵𝐵𝑚) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝑚𝐵))
17 lenegcon1 10570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑚𝐵 ↔ -𝐵𝑚))
1814, 13, 17syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝑚𝐵 ↔ -𝐵𝑚))
1918anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑚 ∧ -𝑚𝐵) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚)))
2016, 19syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((-𝑚𝐵𝐵𝑚) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚)))
2115, 20bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚)))
2221imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
2322ralbidva 3014 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
2423rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
2524biimpd 219 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
26 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (𝐵𝑛𝐵𝑚))
2726anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝)))
2827imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝))))
2928rexralbidv 3087 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝))))
30 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑚 → (-𝐵𝑝 ↔ -𝐵𝑚))
3130anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑚 → ((𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝) ↔ (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚)))
3231imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 𝑚 → ((𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
3332rexralbidv 3087 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑚 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))))
3429, 33rspc2ev 3355 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)))
35343anidm12 1423 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑚 ∧ -𝐵𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)))
3611, 25, 35syl6an 567 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝))))
3736rexlimdva 3060 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) → ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝))))
38 simplrr 818 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑛𝑝) → 𝑝 ∈ ℝ)
39 simplrl 817 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ ¬ 𝑛𝑝) → 𝑛 ∈ ℝ)
4038, 39ifclda 4153 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ)
41 max2 12056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 𝑝 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))
4241ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑝 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))
4312adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4443renegcld 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
45 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑝 ∈ ℝ)
46 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
4745, 46ifcld 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ)
48 letr 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → ((-𝐵𝑝𝑝 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)) → -𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
4944, 45, 47, 48syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((-𝐵𝑝𝑝 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)) → -𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
5042, 49mpan2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵𝑝 → -𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
51 lenegcon1 10570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ -if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
5243, 47, 51syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ -if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
5350, 52sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (-𝐵𝑝 → -if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵))
54 max1 12054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → 𝑛 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))
5554ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑛 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))
56 letr 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
5743, 46, 47, 56syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑛𝑛 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)) → 𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
5855, 57mpan2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐵𝑛𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
5953, 58anim12d 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((-𝐵𝑝𝐵𝑛) → (-if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6059ancomsd 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝) → (-if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6143, 47absled 14213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ↔ (-if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ≤ 𝐵𝐵 ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6260, 61sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝) → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
6362imim2d 57 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6463ralimdva 2991 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6564reximdv 3045 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
66 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) → ((abs‘𝐵) ≤ 𝑚 ↔ (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛)))
6766imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) → ((𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6867rexralbidv 3087 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))))
6968rspcev 3340 . . . . . . . . . . 11 ((if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛) ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ if(𝑛𝑝, 𝑝, 𝑛))) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚))
7040, 65, 69syl6an 567 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ)) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
7170rexlimdvva 3067 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
7237, 71impbid 202 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝))))
73 rexanre 14130 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
7473adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
75742rexbidv 3086 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (𝐵𝑛 ∧ -𝐵𝑝)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
7672, 75bitrd 268 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
77 reeanv 3136 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)))
7876, 77syl6bb 276 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
79 rexcom 3128 . . . . . 6 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚))
80 rexcom 3128 . . . . . . 7 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛))
81 rexcom 3128 . . . . . . 7 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝) ↔ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))
8280, 81anbi12i 733 . . . . . 6 ((∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑝 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)))
8378, 79, 823bitr4g 303 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
84 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
8512recnd 10106 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
8684, 85elo1mpt 14309 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) ≤ 𝑚)))
8784, 12ello1mpt 14296 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛)))
8812renegcld 10495 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
8984, 88ello1mpt 14296 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝)))
9087, 89anbi12d 747 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → (((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)) ↔ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑛 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥𝐵𝑛) ∧ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑝 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑐𝑥 → -𝐵𝑝))))
9183, 86, 903bitr4d 300 . . . 4 ((𝜑𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
9291ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))))
9310, 92sylbid 230 . 2 (𝜑 → (dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1)))))
942, 5, 93pm5.21ndd 368 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ ≤𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ ≤𝑂(1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  cfv 5926  cr 9973  cle 10113  -cneg 10305  abscabs 14018  𝑂(1)co1 14261  ≤𝑂(1)clo1 14262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-o1 14265  df-lo1 14266
This theorem is referenced by:  o1lo12  14313  o1lo1d  14314  icco1  14315  lo1sub  14405
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