MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1mptrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1mptrcl 14334
Description: Reverse closure for an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
o1mptrcl.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
o1mptrcl ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem o1mptrcl
StepHypRef Expression
1 o1mptrcl.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
2 o1f 14241 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
4 o1add2.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
54ralrimiva 2963 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 5620 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
87feq2d 6018 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
93, 8mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
10 eqid 2620 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
1110fmpt 6367 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
129, 11sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
1312r19.21bi 2929 1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  cmpt 4720  dom cdm 5104  wf 5872  cc 9919  𝑂(1)co1 14198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-pm 7845  df-o1 14202
This theorem is referenced by:  o1le  14364  fsumo1  14525  o1fsum  14526  o1cxp  24682  mulogsum  25202
  Copyright terms: Public domain W3C validator