Theorem o1mul 14965

Description: The product of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 14-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
o1mul	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem o1mul

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 10616	. 2 ⊢ ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (𝑚 · 𝑛) ∈ ℝ)
2		mulcl 10615	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		simp2l 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → 𝑥 ∈ ℂ)
4		simp2r 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → 𝑦 ∈ ℂ)
5	3, 4	absmuld 14808	. . . 4 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) = ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)))
6	3	abscld 14790	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
7		simp1l 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
8	4	abscld 14790	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
9		simp1r 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
10	3	absge0d 14798	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → 0 ≤ (abs‘𝑥))
11	4	absge0d 14798	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → 0 ≤ (abs‘𝑦))
12		simp3l 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → (abs‘𝑥) ≤ 𝑚)
13		simp3r 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)
14	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lemul12ad 11576	. . . 4 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → ((abs‘𝑥) · (abs‘𝑦)) ≤ (𝑚 · 𝑛))
15	5, 14	eqbrtrd 5080	. . 3 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛)) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) ≤ (𝑚 · 𝑛))
16	15	3expia 1117	. 2 ⊢ (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘𝑦) ≤ 𝑛) → (abs‘(𝑥 · 𝑦)) ≤ (𝑚 · 𝑛)))
17	1, 2, 16	o1of2 14963	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺 ∈ 𝑂(1)) → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ∘_f cof 7401  ℂcc 10529  ℝcr 10530   · cmul 10536   ≤ cle 10670  abscabs 14587  𝑂(1)co1 14837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-ico 12738  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-o1 14841

This theorem is referenced by:  o1mul2  14975  chebbnd2  26047  chto1lb  26048  chpo1ub  26050  selberg2lem  26120