MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1resb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1resb 14467
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually bounded iff the original is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimresb.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
rlimresb.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
o1resb (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))

Proof of Theorem o1resb
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1res 14461 . 2 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1))
2 rlimresb.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
32feqmptd 6399 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
43reseq1d 5538 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐵[,)+∞)))
5 resmpt3 5596 . . . . 5 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥))
64, 5syl6eq 2798 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
76eleq1d 2812 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
8 inss1 3964 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴
9 rlimresb.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
108, 9syl5ss 3743 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
118sseli 3728 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → 𝑥𝐴)
12 ffvelrn 6508 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
132, 11, 12syl2an 495 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
1410, 13elo1mpt 14435 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)))
15 elin 3927 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)))
1615imbi1i 338 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)))
17 impexp 461 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧))))
1816, 17bitri 264 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧))))
19 impexp 461 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)))
20 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2120ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
229adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2322sselda 3732 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
24 elicopnf 12433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑥)))
2524baibd 986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵𝑥))
2621, 23, 25syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵𝑥))
2726anbi1d 743 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) ↔ (𝐵𝑥𝑦𝑥)))
28 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
29 maxle 12186 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 ↔ (𝐵𝑥𝑦𝑥)))
3021, 28, 23, 29syl3anc 1463 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 ↔ (𝐵𝑥𝑦𝑥)))
3127, 30bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) ↔ if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥))
3231imbi1d 330 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) ↔ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)))
3319, 32syl5bbr 274 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)))
3433pm5.74da 725 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧))) ↔ (𝑥𝐴 → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧))))
3518, 34syl5bb 272 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥𝐴 → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧))))
3635ralbidv2 3110 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)))
372adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
38 simprl 811 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3920adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4038, 39ifcld 4263 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ)
41 simprr 813 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
42 elo12r 14429 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)) → 𝐹 ∈ 𝑂(1))
43423expia 1114 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
4437, 22, 40, 41, 43syl22anc 1464 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
4536, 44sylbid 230 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
4645rexlimdvva 3164 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
4714, 46sylbid 230 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
487, 47sylbid 230 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
491, 48impbid2 216 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2127  wral 3038  wrex 3039  cin 3702  wss 3703  ifcif 4218   class class class wbr 4792  cmpt 4869  cres 5256  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  cr 10098  +∞cpnf 10234  cle 10238  [,)cico 12341  abscabs 14144  𝑂(1)co1 14387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-ico 12345  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-o1 14391  df-lo1 14392
This theorem is referenced by:  chpo1ub  25339  dchrisum0lem2a  25376  pntrsumo1  25424
  Copyright terms: Public domain W3C validator