MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1sub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1sub2 14290
Description: The product of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
o1add2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
o1add2.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
o1add2.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
o1sub2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem o1sub2
StepHypRef Expression
1 o1add2.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
21ralrimiva 2960 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
3 dmmptg 5591 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
5 o1add2.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
6 o1dm 14195 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
84, 7eqsstr3d 3619 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
9 reex 9971 . . . . 5 ℝ ∈ V
109ssex 4762 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
118, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
12 o1add2.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
13 eqidd 2622 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
14 eqidd 2622 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶))
1511, 1, 12, 13, 14offval2 6867 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∘𝑓 − (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)))
16 o1add2.4 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1))
17 o1sub 14280 . . 3 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥𝐴𝐵) ∘𝑓 − (𝑥𝐴𝐶)) ∈ 𝑂(1))
185, 16, 17syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∘𝑓 − (𝑥𝐴𝐶)) ∈ 𝑂(1))
1915, 18eqeltrrd 2699 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  wss 3555  cmpt 4673  dom cdm 5074  (class class class)co 6604  𝑓 cof 6848  cr 9879  cmin 10210  𝑂(1)co1 14151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-o1 14155
This theorem is referenced by:  mulog2sumlem3  25125  selberg2lem  25139  pntrmax  25153  pntrsumo1  25154  selberg3r  25158  pntrlog2bndlem4  25169
  Copyright terms: Public domain W3C validator