MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oa1suc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oa1suc 7471
Description: Addition with 1 is same as successor. Proposition 4.34(a) of [Mendelson] p. 266. (Contributed by NM, 29-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
oa1suc (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 1𝑜) = suc 𝐴)

Proof of Theorem oa1suc
StepHypRef Expression
1 df-1o 7420 . . . 4 1𝑜 = suc ∅
21oveq2i 6534 . . 3 (𝐴 +𝑜 1𝑜) = (𝐴 +𝑜 suc ∅)
3 peano1 6950 . . . 4 ∅ ∈ ω
4 onasuc 7468 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 suc ∅) = suc (𝐴 +𝑜 ∅))
53, 4mpan2 702 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 suc ∅) = suc (𝐴 +𝑜 ∅))
62, 5syl5eq 2651 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 1𝑜) = suc (𝐴 +𝑜 ∅))
7 oa0 7456 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)
8 suceq 5689 . . 3 ((𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴 → suc (𝐴 +𝑜 ∅) = suc 𝐴)
97, 8syl 17 . 2 (𝐴 ∈ On → suc (𝐴 +𝑜 ∅) = suc 𝐴)
106, 9eqtrd 2639 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 1𝑜) = suc 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  c0 3869  Oncon0 5622  suc csuc 5624  (class class class)co 6523  ωcom 6930  1𝑜c1o 7413   +𝑜 coa 7417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424
This theorem is referenced by:  o1p1e2  7480  o2p2e4  7481  om1r  7483  omlimcl  7518  oneo  7521  oeeui  7542  nnneo  7591  nneob  7592  oancom  8404  indpi  9581
  Copyright terms: Public domain W3C validator