MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oaabslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oaabslem 7671
Description: Lemma for oaabs 7672. (Contributed by NM, 9-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaabslem ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 ω) = ω)

Proof of Theorem oaabslem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 7021 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2 limom 7030 . . . . . 6 Lim ω
32jctr 564 . . . . 5 (ω ∈ On → (ω ∈ On ∧ Lim ω))
4 oalim 7560 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ (ω ∈ On ∧ Lim ω)) → (𝐴 +𝑜 ω) = 𝑥 ∈ ω (𝐴 +𝑜 𝑥))
51, 3, 4syl2an 494 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → (𝐴 +𝑜 ω) = 𝑥 ∈ ω (𝐴 +𝑜 𝑥))
6 ordom 7024 . . . . . . . 8 Ord ω
7 nnacl 7639 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 𝑥) ∈ ω)
8 ordelss 5700 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ (𝐴 +𝑜 𝑥) ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 𝑥) ⊆ ω)
96, 7, 8sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 𝑥) ⊆ ω)
109ralrimiva 2960 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +𝑜 𝑥) ⊆ ω)
11 iunss 4529 . . . . . 6 ( 𝑥 ∈ ω (𝐴 +𝑜 𝑥) ⊆ ω ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +𝑜 𝑥) ⊆ ω)
1210, 11sylibr 224 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → 𝑥 ∈ ω (𝐴 +𝑜 𝑥) ⊆ ω)
1312adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → 𝑥 ∈ ω (𝐴 +𝑜 𝑥) ⊆ ω)
145, 13eqsstrd 3620 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → (𝐴 +𝑜 ω) ⊆ ω)
1514ancoms 469 . 2 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 ω) ⊆ ω)
16 oaword2 7581 . . 3 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ω ⊆ (𝐴 +𝑜 ω))
171, 16sylan2 491 . 2 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → ω ⊆ (𝐴 +𝑜 ω))
1815, 17eqssd 3601 1 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 ω) = ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wss 3556   ciun 4487  Ord word 5683  Oncon0 5684  Lim wlim 5685  (class class class)co 6607  ωcom 7015   +𝑜 coa 7505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-oadd 7512
This theorem is referenced by:  oaabs  7672  oaabs2  7673  oancom  8495
  Copyright terms: Public domain W3C validator