MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  obselocv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem obselocv 20294
Description: A basis element is in the orthocomplement of a subset of the basis iff it is not in the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
obselocv.o = (ocv‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
obselocv ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ ( 𝐶) ↔ ¬ 𝐴𝐶))

Proof of Theorem obselocv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
21obsne0 20291 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ≠ (0g𝑊))
323adant2 1126 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 ≠ (0g𝑊))
4 elin 3939 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝐶 ∩ ( 𝐶)) ↔ (𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶)))
5 obsrcl 20289 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ PreHil)
653ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝑊 ∈ PreHil)
7 phllmod 20197 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
9 simp2 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
10 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1110obsss 20290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
12113ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑊))
139, 12sstrd 3754 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊))
14 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
1510, 14lspssid 19207 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝐶 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶))
168, 13, 15syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐶 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶))
17 ssrin 3981 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ⊆ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) → (𝐶 ∩ ( 𝐶)) ⊆ (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( 𝐶)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐶 ∩ ( 𝐶)) ⊆ (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( 𝐶)))
19 obselocv.o . . . . . . . . . . . . . 14 = (ocv‘𝑊)
2010, 19, 14ocvlsp 20242 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → ( ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶)) = ( 𝐶))
216, 13, 20syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → ( ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶)) = ( 𝐶))
2221ineq2d 3957 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( 𝐶)))
23 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2410, 23, 14lspcl 19198 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊))
258, 13, 24syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2619, 23, 1ocvin 20240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = {(0g𝑊)})
276, 25, 26syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( ‘((LSpan‘𝑊)‘𝐶))) = {(0g𝑊)})
2822, 27eqtr3d 2796 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (((LSpan‘𝑊)‘𝐶) ∩ ( 𝐶)) = {(0g𝑊)})
2918, 28sseqtrd 3782 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐶 ∩ ( 𝐶)) ⊆ {(0g𝑊)})
3029sseld 3743 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐶 ∩ ( 𝐶)) → 𝐴 ∈ {(0g𝑊)}))
314, 30syl5bir 233 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → ((𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶)) → 𝐴 ∈ {(0g𝑊)}))
32 elsni 4338 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ {(0g𝑊)} → 𝐴 = (0g𝑊))
3331, 32syl6 35 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → ((𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶)) → 𝐴 = (0g𝑊)))
3433necon3ad 2945 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴 ≠ (0g𝑊) → ¬ (𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶))))
353, 34mpd 15 . . . 4 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → ¬ (𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶)))
36 imnan 437 . . . 4 ((𝐴𝐶 → ¬ 𝐴 ∈ ( 𝐶)) ↔ ¬ (𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶)))
3735, 36sylibr 224 . . 3 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴𝐶 → ¬ 𝐴 ∈ ( 𝐶)))
3837con2d 129 . 2 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ ( 𝐶) → ¬ 𝐴𝐶))
39 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
40 eleq1 2827 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝑥 → (𝐴𝐶𝑥𝐶))
4139, 40syl5ibrcom 237 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐴 = 𝑥𝐴𝐶))
4241con3d 148 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → (¬ 𝐴𝐶 → ¬ 𝐴 = 𝑥))
43 simpl1 1228 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊))
44 simpl3 1232 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐴𝐵)
459sselda 3744 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥𝐵)
46 eqid 2760 . . . . . . . 8 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
47 eqid 2760 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
48 eqid 2760 . . . . . . . 8 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
49 eqid 2760 . . . . . . . 8 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
5010, 46, 47, 48, 49obsip 20287 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐴𝐵𝑥𝐵) → (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))))
5143, 44, 45, 50syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))))
52 iffalse 4239 . . . . . . 7 𝐴 = 𝑥 → if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5352eqeq2d 2770 . . . . . 6 𝐴 = 𝑥 → ((𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = if(𝐴 = 𝑥, (1r‘(Scalar‘𝑊)), (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
5451, 53syl5ibcom 235 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → (¬ 𝐴 = 𝑥 → (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
5542, 54syld 47 . . . 4 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐶) → (¬ 𝐴𝐶 → (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
5655ralrimdva 3107 . . 3 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (¬ 𝐴𝐶 → ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
57 simp3 1133 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
5812, 57sseldd 3745 . . . 4 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
5910, 46, 47, 49, 19elocv 20234 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ( 𝐶) ↔ (𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
60 df-3an 1074 . . . . . 6 ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
6159, 60bitri 264 . . . . 5 (𝐴 ∈ ( 𝐶) ↔ ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
6261baib 982 . . . 4 ((𝐶 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐴 ∈ ( 𝐶) ↔ ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
6313, 58, 62syl2anc 696 . . 3 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ ( 𝐶) ↔ ∀𝑥𝐶 (𝐴(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
6456, 63sylibrd 249 . 2 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (¬ 𝐴𝐶𝐴 ∈ ( 𝐶)))
6538, 64impbid 202 1 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ ( 𝐶) ↔ ¬ 𝐴𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  cin 3714  wss 3715  ifcif 4230  {csn 4321  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  Scalarcsca 16166  ·𝑖cip 16168  0gc0g 16322  1rcur 18721  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154  LSpanclspn 19193  PreHilcphl 20191  ocvcocv 20226  OBasiscobs 20268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-ghm 17879  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-rnghom 18937  df-drng 18971  df-staf 19067  df-srng 19068  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lmhm 19244  df-lvec 19325  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-phl 20193  df-ocv 20229  df-obs 20271
This theorem is referenced by:  obs2ss  20295  obslbs  20296
  Copyright terms: Public domain W3C validator