Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  occl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem occl 28133
 Description: Closure of complement of Hilbert subset. Part of Remark 3.12 of [Beran] p. 107. (Contributed by NM, 8-Aug-2000.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
occl (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ C )

Proof of Theorem occl
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocsh 28112 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ S )
2 ax-hcompl 28029 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥)
3 vex 3198 . . . . . . . . . . 11 𝑓 ∈ V
4 vex 3198 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
53, 4breldm 5318 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑣 𝑥𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
65rexlimivw 3025 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ ℋ 𝑓𝑣 𝑥𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
72, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ Cauchy → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
87ad2antlr 762 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → 𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 )
9 hlimf 28064 . . . . . . . 8 𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ
109ffvelrni 6344 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣 → ( ⇝𝑣𝑓) ∈ ℋ)
118, 10syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ( ⇝𝑣𝑓) ∈ ℋ)
12 simplll 797 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℋ)
13 simpllr 798 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑓 ∈ Cauchy)
14 simplr 791 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴))
15 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1612, 13, 14, 15occllem 28132 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (( ⇝𝑣𝑓) ·ih 𝑥) = 0)
1716ralrimiva 2963 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ∀𝑥𝐴 (( ⇝𝑣𝑓) ·ih 𝑥) = 0)
18 ocel 28110 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℋ → (( ⇝𝑣𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (( ⇝𝑣𝑓) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐴 (( ⇝𝑣𝑓) ·ih 𝑥) = 0)))
1918ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → (( ⇝𝑣𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (( ⇝𝑣𝑓) ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐴 (( ⇝𝑣𝑓) ·ih 𝑥) = 0)))
2011, 17, 19mpbir2and 956 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ( ⇝𝑣𝑓) ∈ (⊥‘𝐴))
21 ffun 6035 . . . . . . 7 ( ⇝𝑣 :dom ⇝𝑣 ⟶ ℋ → Fun ⇝𝑣 )
22 funfvbrb 6316 . . . . . . 7 (Fun ⇝𝑣 → (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓)))
239, 21, 22mp2b 10 . . . . . 6 (𝑓 ∈ dom ⇝𝑣𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓))
248, 23sylib 208 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → 𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓))
25 breq2 4648 . . . . . 6 (𝑥 = ( ⇝𝑣𝑓) → (𝑓𝑣 𝑥𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓)))
2625rspcev 3304 . . . . 5 ((( ⇝𝑣𝑓) ∈ (⊥‘𝐴) ∧ 𝑓𝑣 ( ⇝𝑣𝑓)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓𝑣 𝑥)
2720, 24, 26syl2anc 692 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) ∧ 𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓𝑣 𝑥)
2827ex 450 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℋ ∧ 𝑓 ∈ Cauchy) → (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓𝑣 𝑥))
2928ralrimiva 2963 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓𝑣 𝑥))
30 isch3 28068 . 2 ((⊥‘𝐴) ∈ C ↔ ((⊥‘𝐴) ∈ S ∧ ∀𝑓 ∈ Cauchy (𝑓:ℕ⟶(⊥‘𝐴) → ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)𝑓𝑣 𝑥)))
311, 29, 30sylanbrc 697 1 (𝐴 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐴) ∈ C )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ∀wral 2909  ∃wrex 2910   ⊆ wss 3567   class class class wbr 4644  dom cdm 5104  Fun wfun 5870  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  0cc0 9921  ℕcn 11005   ℋchil 27746   ·ih csp 27749  Cauchyccau 27753   ⇝𝑣 chli 27754   Sℋ csh 27755   Cℋ cch 27756  ⊥cort 27757 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001  ax-hilex 27826  ax-hfvadd 27827  ax-hvcom 27828  ax-hvass 27829  ax-hv0cl 27830  ax-hvaddid 27831  ax-hfvmul 27832  ax-hvmulid 27833  ax-hvmulass 27834  ax-hvdistr1 27835  ax-hvdistr2 27836  ax-hvmul0 27837  ax-hfi 27906  ax-his1 27909  ax-his2 27910  ax-his3 27911  ax-his4 27912  ax-hcompl 28029 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-sum 14398  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-lm 21014  df-haus 21100  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-cau 23035  df-grpo 27317  df-gid 27318  df-ginv 27319  df-gdiv 27320  df-ablo 27369  df-vc 27384  df-nv 27417  df-va 27420  df-ba 27421  df-sm 27422  df-0v 27423  df-vs 27424  df-nmcv 27425  df-ims 27426  df-dip 27526  df-hnorm 27795  df-hvsub 27798  df-hlim 27799  df-hcau 27800  df-sh 28034  df-ch 28048  df-oc 28079 This theorem is referenced by:  shoccl  28134  hsupcl  28168  sshjcl  28184  dfch2  28236  ococin  28237  shjshsi  28321  sshhococi  28375  h1dei  28379  h1de2bi  28383  h1de2ctlem  28384  h1de2ci  28385  spansnch  28389  spansnpji  28407  h1da  29178  atom1d  29182
 Copyright terms: Public domain W3C validator