HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocorth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocorth 28017
Description: Members of a subset and its complement are orthogonal. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocorth (𝐻 ⊆ ℋ → ((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))

Proof of Theorem ocorth
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocel 28007 . . . . . 6 (𝐻 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ (𝐵 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)))
21simplbda 653 . . . . 5 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ∀𝑥𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)
32adantl 482 . . . 4 (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → ∀𝑥𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)
4 oveq2 6618 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝐴))
54eqeq1d 2623 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
65rspcv 3294 . . . . . 6 (𝐴𝐻 → (∀𝑥𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
76ad2antlr 762 . . . . 5 (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (∀𝑥𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
8 ssel2 3582 . . . . . 6 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
9 ocss 28011 . . . . . . 7 (𝐻 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐻) ⊆ ℋ)
109sselda 3587 . . . . . 6 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐵 ∈ ℋ)
11 orthcom 27832 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
128, 10, 11syl2an 494 . . . . 5 (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
137, 12sylibrd 249 . . . 4 (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (∀𝑥𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
143, 13mpd 15 . . 3 (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
1514anandis 872 . 2 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ (𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
1615ex 450 1 (𝐻 ⊆ ℋ → ((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wss 3559  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9887  chil 27643   ·ih csp 27646  cort 27654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-hilex 27723  ax-hfvadd 27724  ax-hv0cl 27727  ax-hfvmul 27729  ax-hvmul0 27734  ax-hfi 27803  ax-his1 27806  ax-his2 27807  ax-his3 27808
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-2 11030  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sh 27931  df-oc 27976
This theorem is referenced by:  shocorth  28018  ococss  28019  riesz3i  28788
  Copyright terms: Public domain W3C validator