MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvlss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvlss 20010
Description: The orthocomplement of a subset is a linear subspace of the pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvss.o = (ocv‘𝑊)
ocvlss.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ocvlss ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ∈ 𝐿)

Proof of Theorem ocvlss
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocvss.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 ocvss.o . . . 4 = (ocv‘𝑊)
31, 2ocvss 20008 . . 3 ( 𝑆) ⊆ 𝑉
43a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ⊆ 𝑉)
5 simpr 477 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆𝑉)
6 phllmod 19969 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
8 eqid 2621 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
91, 8lmod0vcl 18886 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
107, 9syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
11 simpll 790 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊 ∈ PreHil)
125sselda 3601 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑉)
13 eqid 2621 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
14 eqid 2621 . . . . . . 7 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
15 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
1613, 14, 1, 15, 8ip0l 19975 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝑉) → ((0g𝑊)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
1711, 12, 16syl2anc 693 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) → ((0g𝑊)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
1817ralrimiva 2965 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ∀𝑥𝑆 ((0g𝑊)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
191, 14, 13, 15, 2elocv 20006 . . . 4 ((0g𝑊) ∈ ( 𝑆) ↔ (𝑆𝑉 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥𝑆 ((0g𝑊)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
205, 10, 18, 19syl3anbrc 1245 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (0g𝑊) ∈ ( 𝑆))
21 ne0i 3919 . . 3 ((0g𝑊) ∈ ( 𝑆) → ( 𝑆) ≠ ∅)
2220, 21syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ≠ ∅)
235adantr 481 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑆𝑉)
247adantr 481 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑊 ∈ LMod)
25 simpr1 1066 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
26 simpr2 1067 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑦 ∈ ( 𝑆))
273, 26sseldi 3599 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑦𝑉)
28 eqid 2621 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
29 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
301, 13, 28, 29lmodvscl 18874 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
3124, 25, 27, 30syl3anc 1325 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
32 simpr3 1068 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑧 ∈ ( 𝑆))
333, 32sseldi 3599 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑧𝑉)
34 eqid 2621 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
351, 34lmodvacl 18871 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉𝑧𝑉) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
3624, 31, 33, 35syl3anc 1325 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
3711adantlr 751 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊 ∈ PreHil)
3831adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
3933adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑧𝑉)
4012adantlr 751 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑉)
41 eqid 2621 . . . . . . . 8 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
4213, 14, 1, 34, 41ipdir 19978 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉𝑧𝑉𝑥𝑉)) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑥) = (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(·𝑖𝑊)𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑥)))
4337, 38, 39, 40, 42syl13anc 1327 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑥) = (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(·𝑖𝑊)𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑥)))
4425adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4527adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑦𝑉)
46 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
4713, 14, 1, 29, 28, 46ipass 19984 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝑉𝑥𝑉)) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(·𝑖𝑊)𝑥) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝑦(·𝑖𝑊)𝑥)))
4837, 44, 45, 40, 47syl13anc 1327 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(·𝑖𝑊)𝑥) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝑦(·𝑖𝑊)𝑥)))
491, 14, 13, 15, 2ocvi 20007 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑦(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5026, 49sylan 488 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑦(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5150oveq2d 6663 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝑦(·𝑖𝑊)𝑥)) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
5224adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
5313lmodring 18865 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
5529, 46, 15ringrz 18582 . . . . . . . . 9 (((Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5654, 44, 55syl2anc 693 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5748, 51, 563eqtrd 2659 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
581, 14, 13, 15, 2ocvi 20007 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5932, 58sylan 488 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
6057, 59oveq12d 6665 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(·𝑖𝑊)𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑥)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
6113lmodfgrp 18866 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
6229, 15grpidcl 17444 . . . . . . . 8 ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6329, 41, 15grplid 17446 . . . . . . . 8 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
6462, 63mpdan 702 . . . . . . 7 ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
6552, 61, 643syl 18 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
6643, 60, 653eqtrd 2659 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
6766ralrimiva 2965 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → ∀𝑥𝑆 (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
681, 14, 13, 15, 2elocv 20006 . . . 4 (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ ( 𝑆) ↔ (𝑆𝑉 ∧ ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥𝑆 (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
6923, 36, 67, 68syl3anbrc 1245 . . 3 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ ( 𝑆))
7069ralrimivvva 2971 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ ( 𝑆)∀𝑧 ∈ ( 𝑆)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ ( 𝑆))
71 ocvlss.l . . 3 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
7213, 29, 1, 34, 28, 71islss 18929 . 2 (( 𝑆) ∈ 𝐿 ↔ (( 𝑆) ⊆ 𝑉 ∧ ( 𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ ( 𝑆)∀𝑧 ∈ ( 𝑆)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ ( 𝑆)))
734, 22, 70, 72syl3anbrc 1245 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ∈ 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793  wral 2911  wss 3572  c0 3913  cfv 5886  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  +gcplusg 15935  .rcmulr 15936  Scalarcsca 15938   ·𝑠 cvsca 15939  ·𝑖cip 15940  0gc0g 16094  Grpcgrp 17416  Ringcrg 18541  LModclmod 18857  LSubSpclss 18926  PreHilcphl 19963  ocvcocv 19998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-plusg 15948  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-grp 17419  df-ghm 17652  df-mgp 18484  df-ring 18543  df-lmod 18859  df-lss 18927  df-lmhm 19016  df-lvec 19097  df-sra 19166  df-rgmod 19167  df-phl 19965  df-ocv 20001
This theorem is referenced by:  ocvin  20012  ocvlsp  20014  csslss  20029  pjdm2  20049  pjff  20050  pjf2  20052  pjfo  20053  ocvpj  20055  pjthlem2  23203  pjth  23204
  Copyright terms: Public domain W3C validator