MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvsscon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvsscon 20221
Description: Two ways to say that 𝑆 and 𝑇 are orthogonal subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvlsp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvlsp.o = (ocv‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ocvsscon ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉𝑇𝑉) → (𝑆 ⊆ ( 𝑇) ↔ 𝑇 ⊆ ( 𝑆)))

Proof of Theorem ocvsscon
StepHypRef Expression
1 ocvlsp.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 ocvlsp.o . . . . 5 = (ocv‘𝑊)
31, 2ocvocv 20217 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝑉) → 𝑇 ⊆ ( ‘( 𝑇)))
433adant2 1126 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉𝑇𝑉) → 𝑇 ⊆ ( ‘( 𝑇)))
52ocv2ss 20219 . . 3 (𝑆 ⊆ ( 𝑇) → ( ‘( 𝑇)) ⊆ ( 𝑆))
6 sstr2 3751 . . 3 (𝑇 ⊆ ( ‘( 𝑇)) → (( ‘( 𝑇)) ⊆ ( 𝑆) → 𝑇 ⊆ ( 𝑆)))
74, 5, 6syl2im 40 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉𝑇𝑉) → (𝑆 ⊆ ( 𝑇) → 𝑇 ⊆ ( 𝑆)))
81, 2ocvocv 20217 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
983adant3 1127 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉𝑇𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
102ocv2ss 20219 . . 3 (𝑇 ⊆ ( 𝑆) → ( ‘( 𝑆)) ⊆ ( 𝑇))
11 sstr2 3751 . . 3 (𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)) → (( ‘( 𝑆)) ⊆ ( 𝑇) → 𝑆 ⊆ ( 𝑇)))
129, 10, 11syl2im 40 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉𝑇𝑉) → (𝑇 ⊆ ( 𝑆) → 𝑆 ⊆ ( 𝑇)))
137, 12impbid 202 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉𝑇𝑉) → (𝑆 ⊆ ( 𝑇) ↔ 𝑇 ⊆ ( 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  cfv 6049  Basecbs 16059  PreHilcphl 20171  ocvcocv 20206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-grp 17626  df-ghm 17859  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-rnghom 18917  df-staf 19047  df-srng 19048  df-lmod 19067  df-lmhm 19224  df-lvec 19305  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-phl 20173  df-ocv 20209
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator