Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The order of a product is the product of the orders, if the factors have coprime order. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
odadd (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))

StepHypRef Expression
1 simpl1 1062 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → 𝐺 ∈ Abel)
2 ablgrp 18114 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → 𝐺 ∈ Grp)
4 simpl2 1063 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → 𝐴𝑋)
5 simpl3 1064 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → 𝐵𝑋)
6 odadd1.2 . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
7 odadd1.3 . . . . 5 + = (+g𝐺)
86, 7grpcl 17346 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
93, 4, 5, 8syl3anc 1323 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋)
10 odadd1.1 . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
116, 10odcl 17871 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
129, 11syl 17 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0)
136, 10odcl 17871 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
144, 13syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
156, 10odcl 17871 . . . 4 (𝐵𝑋 → (𝑂𝐵) ∈ ℕ0)
165, 15syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (𝑂𝐵) ∈ ℕ0)
1714, 16nn0mulcld 11301 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∈ ℕ0)
18 simpr 477 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1)
1918oveq2d 6621 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) = ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · 1))
2012nn0cnd 11298 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ)
2120mulid1d 10002 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · 1) = (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)))
2219, 21eqtrd 2660 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) = (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)))
2310, 6, 7odadd1 18167 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))
2423adantr 481 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))) ∥ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))
2522, 24eqbrtrrd 4642 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))
2610, 6, 7odadd2 18168 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)))
2726adantr 481 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)))
2818oveq1d 6620 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2) = (1↑2))
29 sq1 12895 . . . . . 6 (1↑2) = 1
3028, 29syl6eq 2676 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2) = 1)
3130oveq2d 6621 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)) = ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · 1))
3231, 21eqtrd 2660 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) · (((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵))↑2)) = (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)))
3327, 32breqtrd 4644 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)))
34 dvdseq 14955 . 2 ((((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∈ ℕ0) ∧ ((𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) ∥ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∧ ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)) ∥ (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)))) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))
3512, 17, 25, 33, 34syl22anc 1324 1 (((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ ((𝑂𝐴) gcd (𝑂𝐵)) = 1) → (𝑂‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝑂𝐴) · (𝑂𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   class class class wbr 4618  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  1c1 9882   · cmul 9886  2c2 11015  ℕ0cn0 11237  ↑cexp 12797   ∥ cdvds 14902   gcd cgcd 15135  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  Grpcgrp 17338  odcod 17860  Abelcabl 18110 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-gcd 15136  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mulg 17457  df-od 17864  df-cmn 18111  df-abl 18112 This theorem is referenced by:  gexexlem  18171
 Copyright terms: Public domain W3C validator