MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odcau 18239
Description: Cauchy's theorem for the order of an element in a group. A finite group whose order divides a prime 𝑃 contains an element of order 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcau.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcau.o 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
odcau (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑔,𝐺   𝑃,𝑔   𝑔,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑂(𝑔)

Proof of Theorem odcau
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odcau.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 simpl1 1228 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
3 simpl2 1230 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
4 simpl3 1232 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℙ)
5 1nn0 11520 . . . 4 1 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 1 ∈ ℕ0)
7 prmnn 15610 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
84, 7syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℕ)
98nncnd 11248 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∈ ℂ)
109exp1d 13217 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (𝑃↑1) = 𝑃)
11 simpr 479 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑃 ∥ (♯‘𝑋))
1210, 11eqbrtrd 4826 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (𝑃↑1) ∥ (♯‘𝑋))
131, 2, 3, 4, 6, 12sylow1 18238 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑠) = (𝑃↑1))
1410eqeq2d 2770 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) ↔ (♯‘𝑠) = 𝑃))
1514adantr 472 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) ↔ (♯‘𝑠) = 𝑃))
16 fvex 6363 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) ∈ V
17 hashsng 13371 . . . . . . . . . . . 12 ((0g𝐺) ∈ V → (♯‘{(0g𝐺)}) = 1)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (♯‘{(0g𝐺)}) = 1
19 simprr 813 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘𝑠) = 𝑃)
204adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
21 prmuz2 15630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
2319, 22eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘𝑠) ∈ (ℤ‘2))
24 eluz2b2 11974 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑠) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((♯‘𝑠) ∈ ℕ ∧ 1 < (♯‘𝑠)))
2524simprbi 483 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑠) ∈ (ℤ‘2) → 1 < (♯‘𝑠))
2623, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 1 < (♯‘𝑠))
2718, 26syl5eqbr 4839 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (♯‘{(0g𝐺)}) < (♯‘𝑠))
28 snfi 8205 . . . . . . . . . . 11 {(0g𝐺)} ∈ Fin
293adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑋 ∈ Fin)
301subgss 17816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠𝑋)
3130ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑠𝑋)
32 ssfi 8347 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑠𝑋) → 𝑠 ∈ Fin)
3329, 31, 32syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → 𝑠 ∈ Fin)
34 hashsdom 13382 . . . . . . . . . . 11 (({(0g𝐺)} ∈ Fin ∧ 𝑠 ∈ Fin) → ((♯‘{(0g𝐺)}) < (♯‘𝑠) ↔ {(0g𝐺)} ≺ 𝑠))
3528, 33, 34sylancr 698 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ((♯‘{(0g𝐺)}) < (♯‘𝑠) ↔ {(0g𝐺)} ≺ 𝑠))
3627, 35mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → {(0g𝐺)} ≺ 𝑠)
37 sdomdif 8275 . . . . . . . . 9 ({(0g𝐺)} ≺ 𝑠 → (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}) ≠ ∅)
3836, 37syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}) ≠ ∅)
39 n0 4074 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∖ {(0g𝐺)}) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}))
4038, 39sylib 208 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}))
41 eldifsn 4462 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}) ↔ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))
4231adantrr 755 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑠𝑋)
43 simprrl 823 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑔𝑠)
4442, 43sseldd 3745 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑔𝑋)
45 simprrr 824 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑔 ≠ (0g𝐺))
46 simprll 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4733adantrr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑠 ∈ Fin)
48 odcau.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑂 = (od‘𝐺)
4948odsubdvds 18206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑔𝑠) → (𝑂𝑔) ∥ (♯‘𝑠))
5046, 47, 43, 49syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (𝑂𝑔) ∥ (♯‘𝑠))
51 simprlr 822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (♯‘𝑠) = 𝑃)
5250, 51breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (𝑂𝑔) ∥ 𝑃)
534adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑃 ∈ ℙ)
542adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝐺 ∈ Grp)
553adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → 𝑋 ∈ Fin)
561, 48odcl2 18202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑔𝑋) → (𝑂𝑔) ∈ ℕ)
5754, 55, 44, 56syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (𝑂𝑔) ∈ ℕ)
58 dvdsprime 15622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑂𝑔) ∈ ℕ) → ((𝑂𝑔) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑂𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂𝑔) = 1)))
5953, 57, 58syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → ((𝑂𝑔) ∥ 𝑃 ↔ ((𝑂𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂𝑔) = 1)))
6052, 59mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → ((𝑂𝑔) = 𝑃 ∨ (𝑂𝑔) = 1))
6160ord 391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (¬ (𝑂𝑔) = 𝑃 → (𝑂𝑔) = 1))
62 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝐺) = (0g𝐺)
6348, 62, 1odeq1 18197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑔𝑋) → ((𝑂𝑔) = 1 ↔ 𝑔 = (0g𝐺)))
6454, 44, 63syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → ((𝑂𝑔) = 1 ↔ 𝑔 = (0g𝐺)))
6561, 64sylibd 229 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (¬ (𝑂𝑔) = 𝑃𝑔 = (0g𝐺)))
6665necon1ad 2949 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (𝑔 ≠ (0g𝐺) → (𝑂𝑔) = 𝑃))
6745, 66mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (𝑂𝑔) = 𝑃)
6844, 67jca 555 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃) ∧ (𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)))) → (𝑔𝑋 ∧ (𝑂𝑔) = 𝑃))
6968expr 644 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ((𝑔𝑠𝑔 ≠ (0g𝐺)) → (𝑔𝑋 ∧ (𝑂𝑔) = 𝑃)))
7041, 69syl5bi 232 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}) → (𝑔𝑋 ∧ (𝑂𝑔) = 𝑃)))
7170eximdv 1995 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → (∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝐺)}) → ∃𝑔(𝑔𝑋 ∧ (𝑂𝑔) = 𝑃)))
7240, 71mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔(𝑔𝑋 ∧ (𝑂𝑔) = 𝑃))
73 df-rex 3056 . . . . . 6 (∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃 ↔ ∃𝑔(𝑔𝑋 ∧ (𝑂𝑔) = 𝑃))
7472, 73sylibr 224 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑠) = 𝑃)) → ∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃)
7574expr 644 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = 𝑃 → ∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃))
7615, 75sylbid 230 . . 3 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ 𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃↑1) → ∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃))
7776rexlimdva 3169 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → (∃𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘𝑠) = (𝑃↑1) → ∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃))
7813, 77mpd 15 1 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔𝑋 (𝑂𝑔) = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  Vcvv 3340  cdif 3712  wss 3715  c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  csdm 8122  Fincfn 8123  1c1 10149   < clt 10286  cn 11232  2c2 11282  0cn0 11504  cuz 11899  cexp 13074  chash 13331  cdvds 15202  cprime 15607  Basecbs 16079  0gc0g 16322  Grpcgrp 17643  SubGrpcsubg 17809  odcod 18164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-ec 7915  df-qs 7919  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-dvds 15203  df-gcd 15439  df-prm 15608  df-pc 15764  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-eqg 17814  df-ga 17943  df-od 18168
This theorem is referenced by:  pgpfi  18240  ablfacrplem  18684
  Copyright terms: Public domain W3C validator