MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odcl2 17914
Description: The order of an element of a finite group is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl2.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl2.2 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
odcl2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem odcl2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odcl2.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odcl2.2 . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
31, 2odcl 17887 . . . . . . . 8 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
43adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
5 elnn0 11246 . . . . . . 7 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂𝐴) = 0))
64, 5sylib 208 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂𝐴) = 0))
76ord 392 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (¬ (𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) = 0))
8 eqid 2621 . . . . . . . 8 (.g𝐺) = (.g𝐺)
9 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴))
101, 2, 8, 9odinf 17912 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ¬ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ∈ Fin)
111, 2, 8, 9odf1 17911 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)):ℤ–1-1𝑋))
1211biimp3a 1429 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)):ℤ–1-1𝑋)
13 f1f 6063 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)):ℤ–1-1𝑋 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)):ℤ⟶𝑋)
14 frn 6015 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)):ℤ⟶𝑋 → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋)
15 ssfi 8132 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ∈ Fin)
1615expcom 451 . . . . . . . 8 (ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋 → (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ∈ Fin))
1712, 13, 14, 164syl 19 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ∈ Fin))
1810, 17mtod 189 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ¬ 𝑋 ∈ Fin)
19183expia 1264 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 → ¬ 𝑋 ∈ Fin))
207, 19syld 47 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (¬ (𝑂𝐴) ∈ ℕ → ¬ 𝑋 ∈ Fin))
2120con4d 114 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑋 ∈ Fin → (𝑂𝐴) ∈ ℕ))
22213impia 1258 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑋 ∈ Fin) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
23223com23 1268 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3559  cmpt 4678  ran crn 5080  wf 5848  1-1wf1 5849  cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  0cc0 9888  cn 10972  0cn0 11244  cz 11329  Basecbs 15792  Grpcgrp 17354  .gcmg 17472  odcod 17876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-acn 8720  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-dvds 14919  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-mulg 17473  df-od 17880
This theorem is referenced by:  gexcl2  17936  pgpfi1  17942  odcau  17951  prmcyg  18227  lt6abl  18228  dchrptlem1  24906  dchrptlem2  24907
  Copyright terms: Public domain W3C validator