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Theorem oddcomabszz 36989
Description: An odd function which takes nonnegative values on nonnegative arguments commutes with abs. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
oddcomabszz.1 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
oddcomabszz.2 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴)
oddcomabszz.3 ((𝜑𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵)
oddcomabszz.4 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
oddcomabszz.5 (𝑥 = -𝑦𝐴 = 𝐶)
oddcomabszz.6 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝐸)
oddcomabszz.7 (𝑥 = (abs‘𝐷) → 𝐴 = 𝐹)
Assertion
Ref Expression
oddcomabszz ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐸) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸   𝑥,𝐹   𝑦,𝐴   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem oddcomabszz
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷 → (𝑎 ∈ ℤ ↔ 𝐷 ∈ ℤ))
21anbi2d 739 . . . . 5 (𝑎 = 𝐷 → ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝐷 ∈ ℤ)))
3 csbeq1 3517 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐷𝑎 / 𝑥𝐴 = 𝐷 / 𝑥𝐴)
43fveq2d 6152 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷 → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴))
5 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐷 → (abs‘𝑎) = (abs‘𝐷))
65csbeq1d 3521 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷(abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴)
74, 6eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑎 = 𝐷 → ((abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 ↔ (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴))
82, 7imbi12d 334 . . . 4 (𝑎 = 𝐷 → (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴) ↔ ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴)))
9 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℤ)
10 nfcsb1v 3530 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑎 / 𝑥𝐴
1110nfel1 2775 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ
129, 11nfim 1822 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
13 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
1413anbi2d 739 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℤ)))
15 csbeq1a 3523 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎𝐴 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
1615eleq1d 2683 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
1714, 16imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)))
18 oddcomabszz.1 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℝ)
1912, 17, 18chvar 2261 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
2019adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
21 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎)
22 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑥0
23 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑥
2422, 23, 10nfbr 4659 . . . . . . . . . 10 𝑥0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴
2521, 24nfim 1822 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)
26 breq2 4617 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑎))
2713, 263anbi23d 1399 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎)))
2815breq2d 4625 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴))
2927, 28imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)))
30 oddcomabszz.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴)
3125, 29, 30chvar 2261 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)
32313expa 1262 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ 𝑎 / 𝑥𝐴)
3320, 32absidd 14095 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = 𝑎 / 𝑥𝐴)
34 zre 11325 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℝ)
3534ad2antlr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
36 absid 13970 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
3735, 36sylancom 700 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) = 𝑎)
3837csbeq1d 3521 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
3933, 38eqtr4d 2658 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 0 ≤ 𝑎) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴)
40 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑦((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
41 eleq1 2686 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝑦 ∈ ℤ ↔ 𝑎 ∈ ℤ))
4241anbi2d 739 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → ((𝜑𝑦 ∈ ℤ) ↔ (𝜑𝑎 ∈ ℤ)))
43 negex 10223 . . . . . . . . . . . 12 -𝑦 ∈ V
44 oddcomabszz.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -𝑦𝐴 = 𝐶)
4543, 44csbie 3540 . . . . . . . . . . 11 -𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐶
46 negeq 10217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎 → -𝑦 = -𝑎)
4746csbeq1d 3521 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎-𝑦 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
4845, 47syl5eqr 2669 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎𝐶 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
49 vex 3189 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
50 oddcomabszz.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
5149, 50csbie 3540 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝐵
52 csbeq1 3517 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑎𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
5351, 52syl5eqr 2669 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑎𝐵 = 𝑎 / 𝑥𝐴)
5453negeqd 10219 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → -𝐵 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
5548, 54eqeq12d 2636 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → (𝐶 = -𝐵-𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴))
5642, 55imbi12d 334 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑎 → (((𝜑𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵) ↔ ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)))
57 oddcomabszz.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℤ) → 𝐶 = -𝐵)
5840, 56, 57chvar 2261 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
5958adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → -𝑎 / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
6034ad2antlr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
61 absnid 13972 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) = -𝑎)
6260, 61sylancom 700 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) = -𝑎)
6362csbeq1d 3521 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
6419adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
65 znegcl 11356 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℤ → -𝑎 ∈ ℤ)
66 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎)
67 nfcsb1v 3530 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥-𝑎 / 𝑥𝐴
6822, 23, 67nfbr 4659 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴
6966, 68nfim 1822 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴)
70 negex 10223 . . . . . . . . . . . . 13 -𝑎 ∈ V
71 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑎 → (𝑥 ∈ ℤ ↔ -𝑎 ∈ ℤ))
72 breq2 4617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ -𝑎))
7371, 723anbi23d 1399 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = -𝑎 → ((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ (𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎)))
74 csbeq1a 3523 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = -𝑎𝐴 = -𝑎 / 𝑥𝐴)
7574breq2d 4625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = -𝑎 → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
7673, 75imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -𝑎 → (((𝜑𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝐴) ↔ ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴)))
7769, 70, 76, 30vtoclf 3244 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ -𝑎) → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴)
78773expia 1264 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ -𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
7965, 78sylan2 491 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8058breq2d 4625 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴 ↔ 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8179, 80sylibd 229 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ -𝑎 → 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8234adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℝ)
8382le0neg1d 10543 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑎))
8419le0neg1d 10543 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 / 𝑥𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝑎 / 𝑥𝐴))
8581, 83, 843imtr4d 283 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (𝑎 ≤ 0 → 𝑎 / 𝑥𝐴 ≤ 0))
8685imp 445 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → 𝑎 / 𝑥𝐴 ≤ 0)
8764, 86absnidd 14086 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = -𝑎 / 𝑥𝐴)
8859, 63, 873eqtr4rd 2666 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ≤ 0) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴)
89 0re 9984 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
90 letric 10081 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 0))
9189, 34, 90sylancr 694 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 0))
9291adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑎𝑎 ≤ 0))
9339, 88, 92mpjaodan 826 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℤ) → (abs‘𝑎 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝑎) / 𝑥𝐴)
948, 93vtoclg 3252 . . 3 (𝐷 ∈ ℤ → ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴))
9594anabsi7 859 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴)
96 nfcvd 2762 . . . . 5 (𝐷 ∈ ℤ → 𝑥𝐸)
97 oddcomabszz.6 . . . . 5 (𝑥 = 𝐷𝐴 = 𝐸)
9896, 97csbiegf 3538 . . . 4 (𝐷 ∈ ℤ → 𝐷 / 𝑥𝐴 = 𝐸)
9998fveq2d 6152 . . 3 (𝐷 ∈ ℤ → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐸))
10099adantl 482 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷 / 𝑥𝐴) = (abs‘𝐸))
101 fvex 6158 . . . 4 (abs‘𝐷) ∈ V
102 oddcomabszz.7 . . . 4 (𝑥 = (abs‘𝐷) → 𝐴 = 𝐹)
103101, 102csbie 3540 . . 3 (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴 = 𝐹
104103a1i 11 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐷) / 𝑥𝐴 = 𝐹)
10595, 100, 1043eqtr3d 2663 1 ((𝜑𝐷 ∈ ℤ) → (abs‘𝐸) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  csb 3514   class class class wbr 4613  cfv 5847  cr 9879  0cc0 9880  cle 10019  -cneg 10211  cz 11321  abscabs 13908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910
This theorem is referenced by:  rmyabs  37005
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