Theorem oddprmge3 15331

Description: An odd prime is greater than or equal to 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 20-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddprmge3	⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3))

Proof of Theorem oddprmge3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3715	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		oddprmgt2 15330	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 < 𝑃)
3		3z 11355	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 < 𝑃) → 3 ∈ ℤ)
5		prmz 15308	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
6	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
7		df-3 11025	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
8		2z 11354	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
9		zltp1le 11372	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 < 𝑃 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑃))
10	8, 5, 9	sylancr 694	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (2 < 𝑃 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑃))
11	10	biimpa 501	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 < 𝑃) → (2 + 1) ≤ 𝑃)
12	7, 11	syl5eqbr 4653	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 < 𝑃) → 3 ≤ 𝑃)
13	4, 6, 12	3jca 1240	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 < 𝑃) → (3 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑃))
14	1, 2, 13	syl2anc 692	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (3 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑃))
15		eluz2 11637	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑃))
16	14, 15	sylibr 224	1 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   ∈ wcel 1992   ∖ cdif 3557  {csn 4153   class class class wbr 4618  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  1c1 9882   + caddc 9884   < clt 10019   ≤ cle 10020  2c2 11015  3c3 11016  ℤcz 11322  ℤ_≥cuz 11631  ℙcprime 15304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-prm 15305

This theorem is referenced by:  prmn2uzge3OLD  15332  gausslemma2dlem0i  24984  numclwwlk5  27094  lighneallem2  40791  oddprmuzge3  40893