MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddvds 17887
Description: The only multiples of 𝐴 that are equal to the identity are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
oddvds ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

Proof of Theorem oddvds
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
2 simpl3 1064 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 dvdsval3 14911 . . . 4 (((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0))
41, 2, 3syl2anc 692 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0))
5 simpl2 1063 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴𝑋)
6 odcl.1 . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
7 odid.4 . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
8 odid.3 . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
96, 7, 8mulg0 17467 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
105, 9syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (0 · 𝐴) = 0 )
11 oveq1 6611 . . . . . 6 ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0 → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
1211eqeq1d 2623 . . . . 5 ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0 → (((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 ↔ (0 · 𝐴) = 0 ))
1310, 12syl5ibrcom 237 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0 → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 ))
142zred 11426 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
151nnrpd 11814 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ+)
16 modlt 12619 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
1714, 15, 16syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
182, 1zmodcld 12631 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
1918nn0red 11296 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℝ)
201nnred 10979 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
2119, 20ltnled 10128 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴) ↔ ¬ (𝑂𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂𝐴))))
2217, 21mpbid 222 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ¬ (𝑂𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂𝐴)))
23 odcl.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (od‘𝐺)
246, 23, 8, 7odlem2 17879 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ ∧ ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂𝐴) ∈ (1...(𝑁 mod (𝑂𝐴))))
25 elfzle2 12287 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂𝐴) ∈ (1...(𝑁 mod (𝑂𝐴))) → (𝑂𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂𝐴)))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ ∧ ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂𝐴)))
27263com23 1268 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑋 ∧ ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 ∧ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂𝐴)))
28273expia 1264 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑋 ∧ ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂𝐴))))
2928con3d 148 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋 ∧ ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → (¬ (𝑂𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) → ¬ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ))
3029impancom 456 . . . . . 6 ((𝐴𝑋 ∧ ¬ (𝑂𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂𝐴))) → (((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 → ¬ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ))
315, 22, 30syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 → ¬ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ))
32 elnn0 11238 . . . . . . 7 ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0))
3318, 32sylib 208 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0))
3433ord 392 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0))
3531, 34syld 47 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0))
3613, 35impbid 202 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0 ↔ ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 ))
376, 23, 8, 7odmod 17886 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
3837eqeq1d 2623 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
394, 36, 383bitrd 294 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
40 simpr 477 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑂𝐴) = 0)
4140breq1d 4623 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
42 simpl3 1064 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
43 0dvds 14926 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
4442, 43syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
45 simpl2 1063 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐴𝑋)
4645, 9syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (0 · 𝐴) = 0 )
47 oveq1 6611 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
4847eqeq1d 2623 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · 𝐴) = 0 ))
4946, 48syl5ibrcom 237 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
506, 23, 8, 7odnncl 17885 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
5150nnne0d 11009 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂𝐴) ≠ 0)
5251expr 642 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑁 · 𝐴) = 0 → (𝑂𝐴) ≠ 0))
5352impancom 456 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑂𝐴) ≠ 0))
5453necon4d 2814 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
5554impancom 456 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑁 · 𝐴) = 0𝑁 = 0))
5649, 55impbid 202 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
5741, 44, 563bitrd 294 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
586, 23odcl 17876 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
59583ad2ant2 1081 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
60 elnn0 11238 . . 3 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂𝐴) = 0))
6159, 60sylib 208 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂𝐴) = 0))
6239, 57, 61mpjaodan 826 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   < clt 10018  cle 10019  cn 10964  0cn0 11236  cz 11321  +crp 11776  ...cfz 12268   mod cmo 12608  cdvds 14907  Basecbs 15781  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343  .gcmg 17461  odcod 17865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-od 17869
This theorem is referenced by:  oddvdsi  17888  odcong  17889  odeq  17890  odmulgid  17892  odbezout  17896  gexdvds2  17921  gexod  17922  gexcl3  17923  odadd1  18172  odadd2  18173  oddvdssubg  18179  pgpfac1lem3a  18396  chrdvds  19795  dchrfi  24880  dchrabs  24885  dchrptlem2  24890  idomodle  37252
  Copyright terms: Public domain W3C validator