MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odeq1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odeq1 17893
Description: The group identity is the unique element of a group with order one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
od1.1 𝑂 = (od‘𝐺)
od1.2 0 = (0g𝐺)
odeq1.3 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
odeq1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 1 ↔ 𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem odeq1
StepHypRef Expression
1 oveq1 6612 . . . 4 ((𝑂𝐴) = 1 → ((𝑂𝐴)(.g𝐺)𝐴) = (1(.g𝐺)𝐴))
21eqcomd 2632 . . 3 ((𝑂𝐴) = 1 → (1(.g𝐺)𝐴) = ((𝑂𝐴)(.g𝐺)𝐴))
3 odeq1.3 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2626 . . . . . 6 (.g𝐺) = (.g𝐺)
53, 4mulg1 17464 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (1(.g𝐺)𝐴) = 𝐴)
6 od1.1 . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐺)
7 od1.2 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
83, 6, 4, 7odid 17873 . . . . 5 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴)(.g𝐺)𝐴) = 0 )
95, 8eqeq12d 2641 . . . 4 (𝐴𝑋 → ((1(.g𝐺)𝐴) = ((𝑂𝐴)(.g𝐺)𝐴) ↔ 𝐴 = 0 ))
109adantl 482 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((1(.g𝐺)𝐴) = ((𝑂𝐴)(.g𝐺)𝐴) ↔ 𝐴 = 0 ))
112, 10syl5ib 234 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 1 → 𝐴 = 0 ))
126, 7od1 17892 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑂0 ) = 1)
1312adantr 481 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂0 ) = 1)
14 fveq2 6150 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝑂𝐴) = (𝑂0 ))
1514eqeq1d 2628 . . 3 (𝐴 = 0 → ((𝑂𝐴) = 1 ↔ (𝑂0 ) = 1))
1613, 15syl5ibrcom 237 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 = 0 → (𝑂𝐴) = 1))
1711, 16impbid 202 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 1 ↔ 𝐴 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  cfv 5850  (class class class)co 6605  1c1 9882  Basecbs 15776  0gc0g 16016  Grpcgrp 17338  .gcmg 17456  odcod 17860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-seq 12739  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-mulg 17457  df-od 17864
This theorem is referenced by:  odcau  17935  prmcyg  18211  ablfacrp  18381
  Copyright terms: Public domain W3C validator