Theorem odeq1 18679

Description: The group identity is the unique element of a group with order one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
od1.1	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
od1.2	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
odeq1.3	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odeq1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem odeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7155	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = 1 → ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴) = (1(.g‘𝐺)𝐴))
2	1	eqcomd 2825	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = 1 → (1(.g‘𝐺)𝐴) = ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴))
3		odeq1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2819	. . . . . 6 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
5	3, 4	mulg1 18227	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (1(.g‘𝐺)𝐴) = 𝐴)
6		od1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
7		od1.2	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	3, 6, 4, 7	odid 18658	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴) = 0 )
9	5, 8	eqeq12d 2835	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((1(.g‘𝐺)𝐴) = ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴) ↔ 𝐴 = 0 ))
10	9	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((1(.g‘𝐺)𝐴) = ((𝑂‘𝐴)(.g‘𝐺)𝐴) ↔ 𝐴 = 0 ))
11	2, 10	syl5ib 246	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 1 → 𝐴 = 0 ))
12	6, 7	od1 18678	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑂‘ 0 ) = 1)
13	12	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘ 0 ) = 1)
14		fveqeq2 6672	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝑂‘𝐴) = 1 ↔ (𝑂‘ 0 ) = 1))
15	13, 14	syl5ibrcom 249	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 0 → (𝑂‘𝐴) = 1))
16	11, 15	impbid 214	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  1c1 10530  Basecbs 16475  0_gc0g 16705  Grpcgrp 18095  ._gcmg 18216  odcod 18644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-seq 13362  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-mulg 18217  df-od 18648

This theorem is referenced by:  odcau  18721  prmcyg  19006  ablfacrp  19180