Theorem odf1 18683

Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odf1.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odf1.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
odf1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem odf1

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odf1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odf1.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3	1, 2	mulgcl 18239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
4	3	3expa 1114	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
5	4	an32s 650	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
6		odf1.4	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
7	5, 6	fmptd 6872	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
8	7	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
9		oveq1 7157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
10		ovex 7183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 · 𝐴) ∈ V
11	9, 6, 10	fvmpt3i 6767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
12		oveq1 7157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴))
13	12, 6, 10	fvmpt3i 6767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 · 𝐴))
14	11, 13	eqeqan12d 2838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
15	14	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
16		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑂‘𝐴) = 0)
17	16	breq1d 5068	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ 0 ∥ (𝑦 − 𝑧)))
18		odf1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
19		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
20	1, 18, 2, 19	odcong 18671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
21	20	ad4ant124 1169	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴)))
22		zsubcl 12018	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ)
23	22	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ)
24		0dvds 15624	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 − 𝑧) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 − 𝑧) = 0))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → (0 ∥ (𝑦 − 𝑧) ↔ (𝑦 − 𝑧) = 0))
26	17, 21, 25	3bitr3d 311	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐴) = (𝑧 · 𝐴) ↔ (𝑦 − 𝑧) = 0))
27		zcn 11980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
28		zcn 11980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
29		subeq0 10906	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
30	27, 28, 29	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑦 − 𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
31	30	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝑦 − 𝑧) = 0 ↔ 𝑦 = 𝑧))
32	15, 26, 31	3bitrd 307	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ 𝑦 = 𝑧))
33	32	biimpd 231	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
34	33	ralrimivva 3191	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
35		dff13 7007	. . 3 ⊢ (𝐹:ℤ–1-1→𝑋 ↔ (𝐹:ℤ⟶𝑋 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ ℤ ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
36	8, 34, 35	sylanbrc 585	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1→𝑋)
37	1, 18, 2, 19	odid 18660	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0g‘𝐺))
38	1, 19, 2	mulg0 18225	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = (0g‘𝐺))
39	37, 38	eqtr4d 2859	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
40	39	ad2antlr 725	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → ((𝑂‘𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
41	1, 18	odcl 18658	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
42	41	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
43	42	nn0zd 12079	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
44		oveq1 7157	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑂‘𝐴) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
45	44, 6, 10	fvmpt3i 6767	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ → (𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
46	43, 45	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = ((𝑂‘𝐴) · 𝐴))
47		0zd 11987	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → 0 ∈ ℤ)
48		oveq1 7157	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
49	48, 6, 10	fvmpt3i 6767	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ ℤ → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
50	47, 49	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝐹‘0) = (0 · 𝐴))
51	40, 46, 50	3eqtr4d 2866	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = (𝐹‘0))
52		simpr 487	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → 𝐹:ℤ–1-1→𝑋)
53		f1fveq 7014	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℤ–1-1→𝑋 ∧ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ)) → ((𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂‘𝐴) = 0))
54	52, 43, 47, 53	syl12anc 834	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → ((𝐹‘(𝑂‘𝐴)) = (𝐹‘0) ↔ (𝑂‘𝐴) = 0))
55	51, 54	mpbid 234	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋) → (𝑂‘𝐴) = 0)
56	36, 55	impbida 799	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138  ⟶wf 6345  –1-1→wf1 6346  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531   − cmin 10864  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975   ∥ cdvds 15601  Basecbs 16477  0_gc0g 16707  Grpcgrp 18097  ._gcmg 18218  odcod 18646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18219  df-od 18650

This theorem is referenced by:  odinf  18684  odcl2  18686  zrhchr  31212