MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf1o2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odf1o2 17920
Description: An element with nonzero order has as many multiples as its order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1o1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1o1.t · = (.g𝐺)
odf1o1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1o1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
odf1o2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odf1o2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1062 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝐺 ∈ Grp)
2 elfzoelz 12419 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) → 𝑥 ∈ ℤ)
32adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝑥 ∈ ℤ)
4 simpl2 1063 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝐴𝑋)
5 odf1o1.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
6 odf1o1.t . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
75, 6mulgcl 17491 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
81, 3, 4, 7syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋)
98ex 450 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝑋))
10 simpl3 1064 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
1110nncnd 10988 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → (𝑂𝐴) ∈ ℂ)
1211subid1d 10333 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → ((𝑂𝐴) − 0) = (𝑂𝐴))
1312breq1d 4628 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → (((𝑂𝐴) − 0) ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦)))
14 fzocongeq 14981 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → (((𝑂𝐴) − 0) ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
1514adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → (((𝑂𝐴) − 0) ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
16 simpl1 1062 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → 𝐺 ∈ Grp)
17 simpl2 1063 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → 𝐴𝑋)
182ad2antrl 763 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
19 elfzoelz 12419 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2019ad2antll 764 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
21 odf1o1.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
22 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
235, 21, 6, 22odcong 17900 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
2416, 17, 18, 20, 23syl112anc 1327 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
2513, 15, 243bitr3rd 299 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)))) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦))
2625ex 450 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦)))
279, 26dom2lem 7947 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1𝑋)
28 f1fn 6064 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1𝑋 → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂𝐴)))
2927, 28syl 17 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂𝐴)))
30 resss 5386 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂𝐴))) ⊆ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
312ssriv 3591 . . . . . . . 8 (0..^(𝑂𝐴)) ⊆ ℤ
32 resmpt 5413 . . . . . . . 8 ((0..^(𝑂𝐴)) ⊆ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂𝐴))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↾ (0..^(𝑂𝐴))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))
34 oveq1 6617 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
3534cbvmptv 4715 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
3630, 33, 353sstr3i 3627 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
37 rnss 5319 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
3836, 37mp1i 13 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
39 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
40 simpl3 1064 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
41 zmodfzo 12641 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 mod (𝑂𝐴)) ∈ (0..^(𝑂𝐴)))
4239, 40, 41syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 mod (𝑂𝐴)) ∈ (0..^(𝑂𝐴)))
435, 21, 6, 22odmod 17897 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
44433an1rs 1276 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴))
4544eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
46 oveq1 6617 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 mod (𝑂𝐴)) → (𝑥 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
4746eqeq2d 2631 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 mod (𝑂𝐴)) → ((𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴) ↔ (𝑦 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)))
4847rspcev 3298 . . . . . . . . 9 (((𝑦 mod (𝑂𝐴)) ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∧ (𝑦 · 𝐴) = ((𝑦 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
4942, 45, 48syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
50 ovex 6638 . . . . . . . . 9 (𝑦 · 𝐴) ∈ V
51 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))
5251elrnmpt 5337 . . . . . . . . 9 ((𝑦 · 𝐴) ∈ V → ((𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴)))
5350, 52ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) ↔ ∃𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴))(𝑦 · 𝐴) = (𝑥 · 𝐴))
5449, 53sylibr 224 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
55 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) = (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴))
5654, 55fmptd 6346 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)):ℤ⟶ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
57 frn 6015 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)):ℤ⟶ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) → ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
5856, 57syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)) ⊆ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
5938, 58eqssd 3604 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
60 odf1o1.k . . . . . 6 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
615, 6, 55, 60cycsubg2 17563 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
62613adant3 1079 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝐾‘{𝐴}) = ran (𝑦 ∈ ℤ ↦ (𝑦 · 𝐴)))
6359, 62eqtr4d 2658 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴}))
64 df-fo 5858 . . 3 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) Fn (0..^(𝑂𝐴)) ∧ ran (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)) = (𝐾‘{𝐴})))
6529, 63, 64sylanbrc 697 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}))
66 df-f1 5857 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1𝑋 ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))⟶𝑋 ∧ Fun (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))))
6766simprbi 480 . . 3 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1𝑋 → Fun (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
6827, 67syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → Fun (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)))
69 dff1o3 6105 . 2 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–onto→(𝐾‘{𝐴}) ∧ Fun (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴))))
7065, 68, 69sylanbrc 697 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥 · 𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  Vcvv 3189  wss 3559  {csn 4153   class class class wbr 4618  cmpt 4678  ccnv 5078  ran crn 5080  cres 5081  Fun wfun 5846   Fn wfn 5847  wf 5848  1-1wf1 5849  ontowfo 5850  1-1-ontowf1o 5851  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9888  cmin 10218  cn 10972  cz 11329  ..^cfzo 12414   mod cmo 12616  cdvds 14918  Basecbs 15792  0gc0g 16032  mrClscmrc 16175  Grpcgrp 17354  .gcmg 17472  SubGrpcsubg 17520  odcod 17876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-dvds 14919  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-0g 16034  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-mulg 17473  df-subg 17523  df-od 17880
This theorem is referenced by:  odhash2  17922  odngen  17924
  Copyright terms: Public domain W3C validator