Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odhash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odhash 17921
 Description: An element of zero order generates an infinite subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odhash.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
odhash ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (#‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)

Proof of Theorem odhash
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 11338 . . 3 ℤ ∈ V
2 ominf 8124 . . . 4 ¬ ω ∈ Fin
3 znnen 14877 . . . . . 6 ℤ ≈ ℕ
4 nnenom 12727 . . . . . 6 ℕ ≈ ω
53, 4entri 7962 . . . . 5 ℤ ≈ ω
6 enfi 8128 . . . . 5 (ℤ ≈ ω → (ℤ ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 (ℤ ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin)
82, 7mtbir 313 . . 3 ¬ ℤ ∈ Fin
9 hashinf 13070 . . 3 ((ℤ ∈ V ∧ ¬ ℤ ∈ Fin) → (#‘ℤ) = +∞)
101, 8, 9mp2an 707 . 2 (#‘ℤ) = +∞
11 odhash.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
12 eqid 2621 . . . 4 (.g𝐺) = (.g𝐺)
13 odhash.o . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
14 odhash.k . . . 4 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
1511, 12, 13, 14odf1o1 17919 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
161f1oen 7928 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) → ℤ ≈ (𝐾‘{𝐴}))
17 hasheni 13084 . . 3 (ℤ ≈ (𝐾‘{𝐴}) → (#‘ℤ) = (#‘(𝐾‘{𝐴})))
1815, 16, 173syl 18 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (#‘ℤ) = (#‘(𝐾‘{𝐴})))
1910, 18syl5reqr 2670 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (#‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3189  {csn 4153   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  –1-1-onto→wf1o 5851  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  ωcom 7019   ≈ cen 7904  Fincfn 7907  0cc0 9888  +∞cpnf 10023  ℕcn 10972  ℤcz 11329  #chash 13065  Basecbs 15792  mrClscmrc 16175  Grpcgrp 17354  .gcmg 17472  SubGrpcsubg 17520  odcod 17876 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-acn 8720  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-dvds 14919  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-0g 16034  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-mulg 17473  df-subg 17523  df-od 17880 This theorem is referenced by:  odhash3  17923
 Copyright terms: Public domain W3C validator