MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odhash2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odhash2 17971
Description: If an element has nonzero order, it generates a subgroup with size equal to the order. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odhash.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
odhash2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (#‘(𝐾‘{𝐴})) = (𝑂𝐴))

Proof of Theorem odhash2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odhash.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2620 . . . 4 (.g𝐺) = (.g𝐺)
3 odhash.o . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
4 odhash.k . . . 4 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
51, 2, 3, 4odf1o2 17969 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
6 ovex 6663 . . . 4 (0..^(𝑂𝐴)) ∈ V
76f1oen 7961 . . 3 ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) → (0..^(𝑂𝐴)) ≈ (𝐾‘{𝐴}))
8 hasheni 13119 . . 3 ((0..^(𝑂𝐴)) ≈ (𝐾‘{𝐴}) → (#‘(0..^(𝑂𝐴))) = (#‘(𝐾‘{𝐴})))
95, 7, 83syl 18 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (#‘(0..^(𝑂𝐴))) = (#‘(𝐾‘{𝐴})))
101, 3odcl 17936 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
11103ad2ant2 1081 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
12 hashfzo0 13200 . . 3 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ0 → (#‘(0..^(𝑂𝐴))) = (𝑂𝐴))
1311, 12syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (#‘(0..^(𝑂𝐴))) = (𝑂𝐴))
149, 13eqtr3d 2656 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (#‘(𝐾‘{𝐴})) = (𝑂𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  {csn 4168   class class class wbr 4644  cmpt 4720  1-1-ontowf1o 5875  cfv 5876  (class class class)co 6635  cen 7937  0cc0 9921  cn 11005  0cn0 11277  ..^cfzo 12449  #chash 13100  Basecbs 15838  mrClscmrc 16224  Grpcgrp 17403  .gcmg 17521  SubGrpcsubg 17569  odcod 17925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-dvds 14965  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-0g 16083  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-od 17929
This theorem is referenced by:  odhash3  17972  proot1mul  37596
  Copyright terms: Public domain W3C validator