MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odid 17951
Description: Any element to the power of its order is the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odid (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )

Proof of Theorem odid
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6654 . . . 4 ((𝑂𝐴) = 0 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
2 odcl.1 . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 odid.4 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
4 odid.3 . . . . 5 · = (.g𝐺)
52, 3, 4mulg0 17540 . . . 4 (𝐴𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
61, 5sylan9eqr 2677 . . 3 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
76adantrr 753 . 2 ((𝐴𝑋 ∧ ((𝑂𝐴) = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅)) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
8 oveq1 6654 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑂𝐴) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
98eqeq1d 2623 . . . . 5 (𝑦 = (𝑂𝐴) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 ))
109elrab 3361 . . . 4 ((𝑂𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } ↔ ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∧ ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 ))
1110simprbi 480 . . 3 ((𝑂𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
1211adantl 482 . 2 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
13 odcl.2 . . 3 𝑂 = (od‘𝐺)
14 eqid 2621 . . 3 {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }
152, 4, 3, 13, 14odlem1 17948 . 2 (𝐴𝑋 → (((𝑂𝐴) = 0 ∧ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 } = ∅) ∨ (𝑂𝐴) ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ (𝑦 · 𝐴) = 0 }))
167, 12, 15mpjaodan 827 1 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  {crab 2915  c0 3913  cfv 5886  (class class class)co 6647  0cc0 9933  cn 11017  Basecbs 15851  0gc0g 16094  .gcmg 17534  odcod 17938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-sup 8345  df-inf 8346  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-seq 12797  df-mulg 17535  df-od 17942
This theorem is referenced by:  odmodnn0  17953  mndodconglem  17954  odmod  17959  odeq  17963  odeq1  17971  odf1  17973  chrid  19869
  Copyright terms: Public domain W3C validator