Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odinf 17896
 Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odf1.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1.3 · = (.g𝐺)
odf1.4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
odinf ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem odinf
StepHypRef Expression
1 znnen 14861 . . . . 5 ℤ ≈ ℕ
2 nnenom 12716 . . . . 5 ℕ ≈ ω
31, 2entr2i 7956 . . . 4 ω ≈ ℤ
4 odf1.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 odf1.2 . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
6 odf1.3 . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
7 odf1.4 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
84, 5, 6, 7odf1 17895 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1𝑋))
98biimp3a 1429 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1𝑋)
10 f1f 6060 . . . . . 6 (𝐹:ℤ–1-1𝑋𝐹:ℤ⟶𝑋)
11 zex 11331 . . . . . . 7 ℤ ∈ V
12 fvex 6160 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) ∈ V
134, 12eqeltri 2700 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V
14 fex2 7071 . . . . . . 7 ((𝐹:ℤ⟶𝑋 ∧ ℤ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
1511, 13, 14mp3an23 1413 . . . . . 6 (𝐹:ℤ⟶𝑋𝐹 ∈ V)
169, 10, 153syl 18 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ V)
17 f1f1orn 6107 . . . . . 6 (𝐹:ℤ–1-1𝑋𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹)
189, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹)
19 f1oen3g 7916 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹) → ℤ ≈ ran 𝐹)
2016, 18, 19syl2anc 692 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ℤ ≈ ran 𝐹)
21 entr 7953 . . . 4 ((ω ≈ ℤ ∧ ℤ ≈ ran 𝐹) → ω ≈ ran 𝐹)
223, 20, 21sylancr 694 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ω ≈ ran 𝐹)
23 endom 7927 . . 3 (ω ≈ ran 𝐹 → ω ≼ ran 𝐹)
24 domnsym 8031 . . 3 (ω ≼ ran 𝐹 → ¬ ran 𝐹 ≺ ω)
2522, 23, 243syl 18 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ≺ ω)
26 isfinite 8494 . 2 (ran 𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ≺ ω)
2725, 26sylnibr 319 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  Vcvv 3191   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  ran crn 5080  ⟶wf 5846  –1-1→wf1 5847  –1-1-onto→wf1o 5849  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ωcom 7013   ≈ cen 7897   ≼ cdom 7898   ≺ csdm 7899  Fincfn 7900  0cc0 9881  ℕcn 10965  ℤcz 11322  Basecbs 15776  Grpcgrp 17338  .gcmg 17456  odcod 17860 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-omul 7511  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-acn 8713  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-sbg 17343  df-mulg 17457  df-od 17864 This theorem is referenced by:  dfod2  17897  odcl2  17898
 Copyright terms: Public domain W3C validator