MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odmodnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odmodnn0 18179
Description: Reduce the argument of a group multiple by modding out the order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odmodnn0 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Proof of Theorem odmodnn0
StepHypRef Expression
1 simpl1 1228 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Mnd)
2 nnnn0 11511 . . . . . 6 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
32adantl 473 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
4 simpl3 1232 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54nn0red 11564 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
6 nnrp 12055 . . . . . . . 8 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ∈ ℝ+)
76adantl 473 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ+)
85, 7rerpdivcld 12116 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑂𝐴)) ∈ ℝ)
94nn0ge0d 11566 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑁)
10 nnre 11239 . . . . . . . 8 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
1110adantl 473 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
12 nngt0 11261 . . . . . . . 8 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → 0 < (𝑂𝐴))
1312adantl 473 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 0 < (𝑂𝐴))
14 divge0 11104 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝑂𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑂𝐴))) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑂𝐴)))
155, 9, 11, 13, 14syl22anc 1478 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑂𝐴)))
16 flge0nn0 12835 . . . . . 6 (((𝑁 / (𝑂𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 / (𝑂𝐴))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℕ0)
178, 15, 16syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℕ0)
183, 17nn0mulcld 11568 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) ∈ ℕ0)
194nn0zd 11692 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 zmodcl 12904 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
2119, 20sylancom 704 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
22 simpl2 1230 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴𝑋)
23 odcl.1 . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
24 odid.3 . . . . 5 · = (.g𝐺)
25 eqid 2760 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
2623, 24, 25mulgnn0dir 17792 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0𝐴𝑋)) → ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂𝐴))) · 𝐴) = ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴)(+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)))
271, 18, 21, 22, 26syl13anc 1479 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂𝐴))) · 𝐴) = ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴)(+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)))
2811recnd 10280 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℂ)
2917nn0cnd 11565 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℂ)
3028, 29mulcomd 10273 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)))
3130oveq1d 6829 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴) = (((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)) · 𝐴))
3223, 24mulgnn0ass 17799 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ0𝐴𝑋)) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · ((𝑂𝐴) · 𝐴)))
331, 17, 3, 22, 32syl13anc 1479 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)) · 𝐴) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · ((𝑂𝐴) · 𝐴)))
34 odcl.2 . . . . . . . . . 10 𝑂 = (od‘𝐺)
35 odid.4 . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐺)
3623, 34, 24, 35odid 18177 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
3722, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
3837oveq2d 6830 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · ((𝑂𝐴) · 𝐴)) = ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · 0 ))
3923, 24, 35mulgnn0z 17788 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · 0 ) = 0 )
401, 17, 39syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · 0 ) = 0 )
4138, 40eqtrd 2794 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · ((𝑂𝐴) · 𝐴)) = 0 )
4233, 41eqtrd 2794 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))) · (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 )
4331, 42eqtrd 2794 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴) = 0 )
4443oveq1d 6829 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) · 𝐴)(+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) = ( 0 (+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)))
4527, 44eqtrd 2794 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂𝐴))) · 𝐴) = ( 0 (+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)))
46 modval 12884 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 − ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))))))
475, 7, 46syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = (𝑁 − ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴))))))
4847oveq2d 6830 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂𝐴))) = (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 − ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))))))
4918nn0cnd 11565 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) ∈ ℂ)
504nn0cnd 11565 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5149, 50pncan3d 10607 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 − ((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))))) = 𝑁)
5248, 51eqtrd 2794 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂𝐴))) = 𝑁)
5352oveq1d 6829 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((((𝑂𝐴) · (⌊‘(𝑁 / (𝑂𝐴)))) + (𝑁 mod (𝑂𝐴))) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
5423, 24mulgnn0cl 17779 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0𝐴𝑋) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) ∈ 𝑋)
551, 21, 22, 54syl3anc 1477 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) ∈ 𝑋)
5623, 25, 35mndlid 17532 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) ∈ 𝑋) → ( 0 (+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
571, 55, 56syl2anc 696 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ( 0 (+g𝐺)((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴)) = ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴))
5845, 53, 573eqtr3rd 2803 1 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286  cle 10287  cmin 10478   / cdiv 10896  cn 11232  0cn0 11504  cz 11589  +crp 12045  cfl 12805   mod cmo 12882  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  0gc0g 16322  Mndcmnd 17515  .gcmg 17761  odcod 18164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mulg 17762  df-od 18168
This theorem is referenced by:  mndodcong  18181
  Copyright terms: Public domain W3C validator