MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odmulg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odmulg2 18611
Description: The order of a multiple divides the order of the base point. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odmulgid.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odmulgid.3 · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odmulg2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ (𝑂𝐴))

Proof of Theorem odmulg2
StepHypRef Expression
1 odmulgid.1 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odmulgid.2 . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐺)
31, 2odcl 18593 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
43nn0zd 12073 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
543ad2ant2 1126 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
6 simp3 1130 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7 dvdsmul1 15619 . . 3 (((𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂𝐴) · 𝑁))
85, 6, 7syl2anc 584 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂𝐴) · 𝑁))
9 odmulgid.3 . . . 4 · = (.g𝐺)
101, 2, 9odmulgid 18610 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ (𝑂𝐴) ↔ (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂𝐴) · 𝑁)))
115, 10mpdan 683 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ (𝑂𝐴) ↔ (𝑂𝐴) ∥ ((𝑂𝐴) · 𝑁)))
128, 11mpbird 258 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ (𝑂𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145   · cmul 10530  cz 11969  cdvds 15595  Basecbs 16471  Grpcgrp 18041  .gcmg 18162  odcod 18581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-od 18585
This theorem is referenced by:  odmulgeq  18613
  Copyright terms: Public domain W3C validator