MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odnncl 17896
Description: If a nonzero multiple of an element is zero, the element has positive order. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odnncl (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem odnncl
StepHypRef Expression
1 simpl2 1063 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝐴𝑋)
2 simprl 793 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ≠ 0)
3 simpl3 1064 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℤ)
43zcnd 11435 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℂ)
5 abs00 13971 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℂ → ((abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
65necon3bbid 2827 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → (¬ (abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
74, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (¬ (abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 ≠ 0))
82, 7mpbird 247 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ¬ (abs‘𝑁) = 0)
9 nn0abscl 13994 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
103, 9syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ0)
11 elnn0 11246 . . . . . 6 ((abs‘𝑁) ∈ ℕ0 ↔ ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑁) = 0))
1210, 11sylib 208 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) ∈ ℕ ∨ (abs‘𝑁) = 0))
1312ord 392 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (¬ (abs‘𝑁) ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 0))
148, 13mt3d 140 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
15 simprr 795 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )
16 oveq1 6617 . . . . . 6 ((abs‘𝑁) = 𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
1716eqeq1d 2623 . . . . 5 ((abs‘𝑁) = 𝑁 → (((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
1815, 17syl5ibrcom 237 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) = 𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ))
19 simpl1 1062 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝐺 ∈ Grp)
20 odcl.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
21 odid.3 . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
22 eqid 2621 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
2320, 21, 22mulgneg 17492 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (-𝑁 · 𝐴) = ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝐴)))
2419, 3, 1, 23syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (-𝑁 · 𝐴) = ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝐴)))
2515fveq2d 6157 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((invg𝐺)‘(𝑁 · 𝐴)) = ((invg𝐺)‘ 0 ))
26 odid.4 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
2726, 22grpinvid 17408 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
2819, 27syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((invg𝐺)‘ 0 ) = 0 )
2924, 25, 283eqtrd 2659 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (-𝑁 · 𝐴) = 0 )
30 oveq1 6617 . . . . . 6 ((abs‘𝑁) = -𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = (-𝑁 · 𝐴))
3130eqeq1d 2623 . . . . 5 ((abs‘𝑁) = -𝑁 → (((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ↔ (-𝑁 · 𝐴) = 0 ))
3229, 31syl5ibrcom 237 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) = -𝑁 → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ))
333zred 11434 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℝ)
3433absord 14096 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁))
3518, 32, 34mpjaod 396 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 )
36 odcl.2 . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
3720, 36, 21, 26odlem2 17890 . . 3 ((𝐴𝑋 ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝑁) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂𝐴) ∈ (1...(abs‘𝑁)))
381, 14, 35, 37syl3anc 1323 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂𝐴) ∈ (1...(abs‘𝑁)))
39 elfznn 12320 . 2 ((𝑂𝐴) ∈ (1...(abs‘𝑁)) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
4038, 39syl 17 1 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889  -cneg 10219  cn 10972  0cn0 11244  cz 11329  ...cfz 12276  abscabs 13916  Basecbs 15792  0gc0g 16032  Grpcgrp 17354  invgcminusg 17355  .gcmg 17472  odcod 17876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-mulg 17473  df-od 17880
This theorem is referenced by:  oddvds  17898
  Copyright terms: Public domain W3C validator