MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odsubdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odsubdvds 17907
Description: The order of an element of a subgroup divides the order of the subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
odsubdvds.1 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
odsubdvds ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑆) → (𝑂𝐴) ∥ (#‘𝑆))

Proof of Theorem odsubdvds
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . 5 (𝐺s 𝑆) = (𝐺s 𝑆)
21subggrp 17518 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
323ad2ant1 1080 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑆) → (𝐺s 𝑆) ∈ Grp)
41subgbas 17519 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
543ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑆) → 𝑆 = (Base‘(𝐺s 𝑆)))
6 simp2 1060 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑆) → 𝑆 ∈ Fin)
75, 6eqeltrrd 2699 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑆) → (Base‘(𝐺s 𝑆)) ∈ Fin)
8 simp3 1061 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
98, 5eleqtrd 2700 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆)))
10 eqid 2621 . . . 4 (Base‘(𝐺s 𝑆)) = (Base‘(𝐺s 𝑆))
11 eqid 2621 . . . 4 (od‘(𝐺s 𝑆)) = (od‘(𝐺s 𝑆))
1210, 11oddvds2 17904 . . 3 (((𝐺s 𝑆) ∈ Grp ∧ (Base‘(𝐺s 𝑆)) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ (Base‘(𝐺s 𝑆))) → ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝐴) ∥ (#‘(Base‘(𝐺s 𝑆))))
133, 7, 9, 12syl3anc 1323 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑆) → ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝐴) ∥ (#‘(Base‘(𝐺s 𝑆))))
14 odsubdvds.1 . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
151, 14, 11subgod 17906 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑂𝐴) = ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝐴))
16153adant2 1078 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑆) → (𝑂𝐴) = ((od‘(𝐺s 𝑆))‘𝐴))
175fveq2d 6152 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑆) → (#‘𝑆) = (#‘(Base‘(𝐺s 𝑆))))
1813, 16, 173brtr4d 4645 1 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑆) → (𝑂𝐴) ∥ (#‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  #chash 13057  cdvds 14907  Basecbs 15781  s cress 15782  Grpcgrp 17343  SubGrpcsubg 17509  odcod 17865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-dvds 14908  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-eqg 17514  df-od 17869
This theorem is referenced by:  odcau  17940  ablfac1eu  18393  idomsubgmo  37257
  Copyright terms: Public domain W3C validator