MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odubas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odubas 16902
Description: Base set of an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduval.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odubas.b 𝐵 = (Base‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
odubas 𝐵 = (Base‘𝐷)

Proof of Theorem odubas
StepHypRef Expression
1 baseid 15693 . . 3 Base = Slot (Base‘ndx)
2 1re 9895 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 1lt10 11513 . . . . 5 1 < 10
42, 3ltneii 10001 . . . 4 1 ≠ 10
5 basendx 15697 . . . . 5 (Base‘ndx) = 1
6 plendx 15816 . . . . 5 (le‘ndx) = 10
75, 6neeq12i 2847 . . . 4 ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 1 ≠ 10)
84, 7mpbir 219 . . 3 (Base‘ndx) ≠ (le‘ndx)
91, 8setsnid 15689 . 2 (Base‘𝑂) = (Base‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
10 odubas.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑂)
11 oduval.d . . . 4 𝐷 = (ODual‘𝑂)
12 eqid 2609 . . . 4 (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
1311, 12oduval 16899 . . 3 𝐷 = (𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩)
1413fveq2i 6091 . 2 (Base‘𝐷) = (Base‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
159, 10, 143eqtr4i 2641 1 𝐵 = (Base‘𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wne 2779  cop 4130  ccnv 5027  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  1c1 9793  cdc 11325  ndxcnx 15638   sSet csts 15639  Basecbs 15641  lecple 15721  ODualcodu 16897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-dec 11326  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ple 15734  df-odu 16898
This theorem is referenced by:  odupos  16904  oduposb  16905  oduglb  16908  odulub  16910  odulatb  16912  oduclatb  16913  posglbd  16919  latmass  16957  latdisd  16959  odudlatb  16965  dlatjmdi  16966  oduprs  28793  odutos  28800  ordtcnvNEW  29100  ordtrest2NEW  29103
  Copyright terms: Public domain W3C validator