MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odujoin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odujoin 16908
Description: Joins in a dual order are meets in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odujoin.m = (meet‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
odujoin = (join‘𝐷)

Proof of Theorem odujoin
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odujoin.m . 2 = (meet‘𝑂)
2 oduglb.d . . . . . . 7 𝐷 = (ODual‘𝑂)
3 eqid 2606 . . . . . . 7 (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
42, 3odulub 16907 . . . . . 6 (𝑂 ∈ V → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
54breqd 4585 . . . . 5 (𝑂 ∈ V → ({𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐 ↔ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐))
65oprabbidv 6582 . . . 4 (𝑂 ∈ V → {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐} = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
7 eqid 2606 . . . . 5 (meet‘𝑂) = (meet‘𝑂)
83, 7meetfval 16781 . . . 4 (𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐})
9 fvex 6095 . . . . . 6 (ODual‘𝑂) ∈ V
102, 9eqeltri 2680 . . . . 5 𝐷 ∈ V
11 eqid 2606 . . . . . 6 (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
12 eqid 2606 . . . . . 6 (join‘𝐷) = (join‘𝐷)
1311, 12joinfval 16767 . . . . 5 (𝐷 ∈ V → (join‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
1410, 13mp1i 13 . . . 4 (𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
156, 8, 143eqtr4d 2650 . . 3 (𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = (join‘𝐷))
16 fvprc 6079 . . . 4 𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = ∅)
17 fvprc 6079 . . . . . . 7 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
182, 17syl5eq 2652 . . . . . 6 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
1918fveq2d 6089 . . . . 5 𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = (join‘∅))
20 join0 16904 . . . . 5 (join‘∅) = ∅
2119, 20syl6eq 2656 . . . 4 𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = ∅)
2216, 21eqtr4d 2643 . . 3 𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = (join‘𝐷))
2315, 22pm2.61i 174 . 2 (meet‘𝑂) = (join‘𝐷)
241, 23eqtri 2628 1 = (join‘𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3169  c0 3870  {cpr 4123   class class class wbr 4574  cfv 5787  {coprab 6525  lubclub 16708  glbcglb 16709  joincjn 16710  meetcmee 16711  ODualcodu 16894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-7 10928  df-8 10929  df-9 10930  df-dec 11323  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ple 15731  df-lub 16740  df-glb 16741  df-join 16742  df-meet 16743  df-odu 16895
This theorem is referenced by:  odulatb  16909  latmass  16954  latdisd  16956  odudlatb  16962  dlatjmdi  16963
  Copyright terms: Public domain W3C validator