Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oduleval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oduleval 17052
 Description: Value of the less-equal relation in an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduval.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
oduval.l = (le‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
oduleval = (le‘𝐷)

Proof of Theorem oduleval
StepHypRef Expression
1 fvex 6158 . . . . 5 (le‘𝑂) ∈ V
21cnvex 7060 . . . 4 (le‘𝑂) ∈ V
3 pleid 15970 . . . . 5 le = Slot (le‘ndx)
43setsid 15835 . . . 4 ((𝑂 ∈ V ∧ (le‘𝑂) ∈ V) → (le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩)))
52, 4mpan2 706 . . 3 (𝑂 ∈ V → (le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩)))
63str0 15832 . . . 4 ∅ = (le‘∅)
7 fvprc 6142 . . . . . 6 𝑂 ∈ V → (le‘𝑂) = ∅)
87cnveqd 5258 . . . . 5 𝑂 ∈ V → (le‘𝑂) = ∅)
9 cnv0 5494 . . . . 5 ∅ = ∅
108, 9syl6eq 2671 . . . 4 𝑂 ∈ V → (le‘𝑂) = ∅)
11 reldmsets 15807 . . . . . 6 Rel dom sSet
1211ovprc1 6637 . . . . 5 𝑂 ∈ V → (𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩) = ∅)
1312fveq2d 6152 . . . 4 𝑂 ∈ V → (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩)) = (le‘∅))
146, 10, 133eqtr4a 2681 . . 3 𝑂 ∈ V → (le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩)))
155, 14pm2.61i 176 . 2 (le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
16 oduval.l . . 3 = (le‘𝑂)
1716cnveqi 5257 . 2 = (le‘𝑂)
18 oduval.d . . . 4 𝐷 = (ODual‘𝑂)
19 eqid 2621 . . . 4 (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
2018, 19oduval 17051 . . 3 𝐷 = (𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩)
2120fveq2i 6151 . 2 (le‘𝐷) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
2215, 17, 213eqtr4i 2653 1 = (le‘𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186  ∅c0 3891  ⟨cop 4154  ◡ccnv 5073  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ndxcnx 15778   sSet csts 15779  lecple 15869  ODualcodu 17049 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-dec 11438  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-sets 15787  df-ple 15882  df-odu 17050 This theorem is referenced by:  oduleg  17053  odupos  17056  oduposb  17057  oduglb  17060  odulub  17062  posglbd  17071  oduprs  29438  odutos  29445  ordtcnvNEW  29745  ordtrest2NEW  29748
 Copyright terms: Public domain W3C validator