MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odumeet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odumeet 17738
Description: Meets in a dual order are joins in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odumeet.j = (join‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
odumeet = (meet‘𝐷)

Proof of Theorem odumeet
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odumeet.j . 2 = (join‘𝑂)
2 oduglb.d . . . . . . 7 𝐷 = (ODual‘𝑂)
3 eqid 2818 . . . . . . 7 (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
42, 3oduglb 17737 . . . . . 6 (𝑂 ∈ V → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
54breqd 5068 . . . . 5 (𝑂 ∈ V → ({𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐 ↔ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐))
65oprabbidv 7209 . . . 4 (𝑂 ∈ V → {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐} = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
7 eqid 2818 . . . . 5 (join‘𝑂) = (join‘𝑂)
83, 7joinfval 17599 . . . 4 (𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐})
92fvexi 6677 . . . . 5 𝐷 ∈ V
10 eqid 2818 . . . . . 6 (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
11 eqid 2818 . . . . . 6 (meet‘𝐷) = (meet‘𝐷)
1210, 11meetfval 17613 . . . . 5 (𝐷 ∈ V → (meet‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
139, 12mp1i 13 . . . 4 (𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
146, 8, 133eqtr4d 2863 . . 3 (𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = (meet‘𝐷))
15 fvprc 6656 . . . 4 𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = ∅)
16 fvprc 6656 . . . . . . 7 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
172, 16syl5eq 2865 . . . . . 6 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
1817fveq2d 6667 . . . . 5 𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = (meet‘∅))
19 meet0 17735 . . . . 5 (meet‘∅) = ∅
2018, 19syl6eq 2869 . . . 4 𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = ∅)
2115, 20eqtr4d 2856 . . 3 𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = (meet‘𝐷))
2214, 21pm2.61i 183 . 2 (join‘𝑂) = (meet‘𝐷)
231, 22eqtri 2841 1 = (meet‘𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  c0 4288  {cpr 4559   class class class wbr 5057  cfv 6348  {coprab 7146  lubclub 17540  glbcglb 17541  joincjn 17542  meetcmee 17543  ODualcodu 17726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-dec 12087  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ple 16573  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-odu 17727
This theorem is referenced by:  odulatb  17741  latdisd  17788  odudlatb  17794  dlatjmdi  17795
  Copyright terms: Public domain W3C validator